Plier un carré en deux

Voici une activité d'apparence toute simple, avec quelques solutions quasi-immédiates, mais qui peut pourtant se prolonger pour donner lieu à une réflexion plus approfondie.

"Pliez un carré de manière à obtenir une forme dont l’aire vaut la moitié de celle du carré.
Pouvez-vous trouver une autre solution que vos camarades ? Soyez créatifs !
Justifiez pourquoi votre pliage donne bien une aire moitié de celle du carré."

Cette activité m'a été suggérée par ma collègue néerlandaise Jacoliene van Wijk, dont je vous conseille le site web (en néerlandais), Wiskundig Vouwen.

Le problème admet plus de solutions qu'il n'y parait à première vue. Nous en explorons ci-dessous un certain nombre... 

Un rectangle à partir de deux carrés

En prenant deux carrés identiques, en pliant l'un selon sa diagonale, en glissant l'autre entre les deux volets triangulaires formés, de manière à ce qu'un de ses côtés soit positionné au creux du pli et que les deux feuilles partagent un sommet, puis en pliant à travers toutes les couches de papier de manière à amener l'une sur l'autre les extrémités du premier pli, on obtient un rectangle. En quoi est-il bien particulier ?

Le cube aux huit fleurs

Dans cette vidéo sur la chaine Origamaths, Paul (10 ans) présente un pliage qu'il a lui-même créé : le cube aux huit fleurs. Cet origami modulaire est composé de six modules identiques pliés chacun dans une feuille carrée. Ce beau pliage est d'un niveau intermédiaire et assez rapide à réaliser.

 

Un pentagone régulier dans un carré ?

Nous nous étions déjà penchés sur le pliage d'un pentagone dans une feuille de papier rectangulaire de format A4. Ce pentagone, bien que régulier en apparence, n'était pas régulier de manière théoriquement exacte. Le pliage se basait sur une approximation de $108^\circ$ par $2\arctan\sqrt{2}$.

Nous allons ici nous intéresser à un autre pliage de pentagone, dans une feuille carrée cette fois. Celui-ci sera-t-il vraiment régulier ?

 

Un calendrier en dodécaèdre rhombique (3)

Nous continuons l'exploration du dodécaèdre rhombique, qui peut être construit en origami modulaire avec un modèle de Nick Robinson . Dans la première partie de cette exploration, nous avions analysé pourquoi le pliage des douze modules dans des feuilles de format A4 donnait bien le polyèdre souhaité. Dans la seconde partie, nous avions vu comment ce dodécaèdre pouvait être construit à partir de deux cubes.

Nous allons à présent nous intéresser au coloriage des faces de ce polyèdre : combien de couleurs sont nécessaires pour colorier les faces du polyèdre de manière à ce que deux faces adjacentes n'aient jamais la même couleur ? Autrement dit, si je veux construire le dodécaèdre rhombique en origami modulaire avec douze modules, combien de couleurs de feuilles de papier dois-je prendre au minimum pour que je puisse assembler le dodécaèdre rhombique de manière à ce que deux faces adjacentes n'aient jamais la même couleur ?

Un calendrier en dodécaèdre rhombique (2)

Il y a un certain temps, je vous avais proposé de vous pencher sur un calendrier en dodécaèdre rhombique, un origami modulaire de Nick Robinson.

Nous avions découvert pourquoi le pliage des douze modules dans des feuilles de format A4 donnait bien le polyèdre souhaité.

Nous allons à présent nous intéresser à une autre construction possible du dodécaèdre rhombique, à partir de deux cubes.

Un octaèdre régulier évidé

En assemblant six bases de la bombe à eau, on peut construire un octaèdre régulier évidé.

Ce pliage est attribué à l'origamiste Robert Neale.  C'est un exemple d'origami modulaire : un objet obtenu par l'assemblage de plusieurs modules identiques. Dans ce cas-ci, les six modules sont très simples : chacun ne présente que quatre plis.

Un octogone décoré d'une étoile

Dans une vidéo Origamaths, Benoît (12 ans) présente comment plier un octogone régulier à partir d'une feuille carrée. L'octogone en lui-même est réalisé assez rapidement. Un peu de patience permet de le transformer en un bel objet : un octogone décoré d'une étoile à huit branches.

Une étoile de Noël à quatre branches

Voici une étoile de Noël assez simple à réaliser à partir d'une feuille carrée.

Cette étoile nous permettra de travailler sur les angles et de faire de la trigonométrie.

Une pyramide à base carrée

Voici une pyramide droite à base carrée assez simple à réaliser.

Nous vous proposons ici les instructions de pliage, sous format pdf.

Si vous préférez une vidéo, Benoît (10 ans) vous en propose une sur la chaine Origamaths.

Un petit panier de Pâques

Pour déposer quelques œufs de Pâques, voici un pliage tout simple. Il s'agit du "gobelet", pliage traditionnel qui pourrait être transformé en panier en y ajoutant une petite anse.

Le pliage est assez facile pour être réalisé par de jeunes enfants. Il peut être exploité mathématiquement à différents niveaux, pour des élèves du primaire et du secondaire.

Des pigeons voyageurs en origami

Dans le cadre du Printemps des Sciences 2017 - Tous connectés !, le GEM Origami animera un atelier Des pigeons voyageurs en origami, à l'attention des élèves du secondaire inférieur.

Cet atelier est basé sur le travail Variations à partir d'un oiseau en origami, dont nous avons déjà parlé sur ce blog à l'occasion du 42e congrès de la SBPMef.

Les instructions de pliage (texte et figures) peuvent être téléchargées ici.

Des vidéos présentant le pliage de l'oiseau à partir d'une feuille carrée ou en forme de losange sont disponibles sur la chaine YouTube du GEM.

Trois articles sont publiés ou prévus dans la revue Losanges de la SBPMef :

• Laure Ninove, Isabelle Wettendorff et le sous-groupe GEM Origami, Variations à partir d'un oiseau en origami (Partie 1), Revue Losanges, n.35, SBPMef, décembre 2016, pp. 3-10.
• Laure Ninove, Isabelle Wettendorff et le sous-groupe GEM Origami, Variations à partir d'un oiseau en origami (Partie 2), Revue Losanges, n.36, SBPMef, mars 2017, à paraitre.
• Laure Ninove, Isabelle Wettendorff et le sous-groupe GEM Origami, Variations à partir d'un oiseau en origami (Partie 3), en préparation.

Le problème du "fold and one-cut" dans le cas d'un triangle

Prenons un triangle dessiné sur une feuille de papier. On peut clairement le découper à l'aide de trois coupes en ligne droite (coups de ciseaux ou rogneuse).

Mais pourrait-on commencer par plier la feuille de papier pour découper le triangle en une seule coupe en ligne droite ? Voici un triangle pour lequel on a réalisé cette coupe magique.

Est-ce possible pour tous les triangles ? Et comment faut-il plier ?

Plier un disque en six parts égales

Pour la fête de la Chandeleur, une fois n'est pas coutume, nous allons nous intéresser au pliage d'un disque : Comment partager un disque en six parts égales par pliage ?

Certains proposeront de plier d'abord le disque en deux, de repérer le milieu du diamètre puis d'obtenir des tiers du demi-disque par ajustement.

Mais peut-on faire une construction précise et justifiable mathématiquement, sans ajustement ?

Un calendrier en dodécaèdre rhombique (1)

Avant que ne passe janvier, je vous propose de vous pencher sur un calendrier en origami modulaire créé par Nick Robinson.

Ce polyèdre possède 12 faces isométriques, mais n'est pas un polyèdre régulier : les faces sont des losanges et par ailleurs, quatre faces se rejoignent en certains sommets, alors que seulement trois faces se rejoignent en d'autres sommets.

Nous découvrirons ici pourquoi le pliage donne bien le polyèdre souhaité. Dans un prochain article, nous nous intéresserons à d'autres propriétés intéressantes de ce dodécaèdre, et notamment à l'agencement de modules de différentes couleurs de sorte que deux modules adjacents ne soient jamais de la même couleur.

Une étoile-couronne octogonale animée

Bientôt Noël... Voici une jolie étoile en origami modulaire. Ce modèle, créé par Robert Neale, est consitué de huit modules identiques et a la particularité d'être un origami animé : l'étoile se transforme en couronne. L'étoile de la photo ci-dessous a été pliée par Agathe et Théotime (8 et 10 ans).

Roman : Monsieur Origami de Jean-Marc Ceci

Pour une fois, il ne s'agit pas de maths, mais de littérature. Une amie m'a offert Monsieur Origami, un roman de Jean-Marc Ceci, aux éditions Gallimard. J'ai pris beaucoup de plaisir à le lire.

Petit extrait choisi :

Assis en zazen pendant des heures, Maître Kurogiku fixe son attention sur les lignes d'une feuille d'origami dépliée.

Il retrace les étapes des plis jusqu'à ce que, par la force de la pensée, il parvienne à replier le papier.

Glané sur le web : Des cuillères de cuisine en origami

L'origami fait régulièrement irruption dans notre quotidien via les magasins de décoration. Il s'invitera peut-être bientôt dans nos cuisines. Polygons Design a créé un objet plat qui se transforme en cuillère de contenance variée grâce à l'origami, et destiné à remplacer les cuillères de mesure dans les cuisines.

Peut-on établir une formule donnant la contenance d'une telle cuillère, pour une position donnée des plis, à l'aide de mathématiques accessibles à des élèves du secondaire ?

Un tétraèdre régulier dans un A4

Dans cette vidéo, Benoît (10 ans), vous apprend à construire un tétraèdre à partir d'une simple feuille A4.

Ce tétraèdre semble régulier. Comment s'en convaincre rigoureusement ?

Variations à partir d'un oiseau

Le GEM Origami présentera un atelier Variations à partir d'un oiseau en origami au 42e congrès de la SBPMef.

Le pliage classique de l'oiseau qui bat des ailes est réalisé à partir d'une feuille carrée. Voici des instructions écrites ainsi qu'une vidéo expliquant comment le réaliser.

Est-il possible d'obtenir un oiseau avec des ailes plus longues ou plus courtes, en réalisant le pliage à partir d’autres quadrilatères ?

Un pentagone régulier dans un A4 ? (1)

Nous avons déjà parlé des propriétés particulières des rectangles de format A4. Aujourd'hui, nous allons nous intéresser à un premier pliage d'un pentagone à partir d'une feuille A4. D'autres suivront. Nous verrons que ce pliage peut notamment servir de support à une réflexion sur le sens des démonstrations.

Fabuleux papier A4

Avez-vous déjà réalisé la merveille que constitue une simple feuille A4 ?

En jouant à faire des agrandissements ou réductions à la photocopieuse, vous avez sans doute déjà remarqué qu'on peut réduire deux A4 (ou un A3) en un A4 de manière exacte, sans marges ni rognage, et de même, on peut agrandir un A5 en A4 de manière exacte.

Essayez de faire cela avec un rectangle d'une autre forme (par exemple un rectangle dont les côtés sont dans un rapport 1:2, un carré ou même une feuille au format US Letter mesurant 8,5 pouces sur 11 pouces), vous n'y arriverez pas.

D'où vient donc cette propriété si utile du format A4 ?

Glané sur le web : Une bande de papier pliée

Pour ce premier "Glané sur le web", voici un joli problème d'énoncé très simple, trouvé sur le blog $f(t)$ :

Un cube avec six modules de Sonobe

Dans sa précédente vidéo Origamaths, Benoît vous expliquait le pliage du module de Sonobe. Dans celle-ci, il vous montre comment assembler six modules de Sonobe pour construire un cube.

Le module Sonobe par Benoît

Une première vidéo Origamaths de Benoît, 9 ans. Il vous présente comment plier le module de Sonobe, qui permet de construire des cubes, des étoiles, et bien d'autres solides encore. Des vidéos présentant l'assemblage du cube, de l'hexaèdre à faces triangulaires et des étoiles suivront.

Dans la classe de Valérie Larose

Dans le reportage vidéo Apprendre les maths par le pliage (5 minutes), on suit Valérie Larose dans sa classe de 6e au collège Louise Weiss à Nozay (France).

Apprendre les maths par le pliage par Essonne-fr

 
Les élèves construisent des cubes à partir de bandes découpées dans une enveloppe fermée dans le but de travailler les propriétés du cube et de sa représentation en perspective. Ce pliage permet une construction très rapide d'un cube solide que l'élève peut manipuler, sur lequel il peut écrire, dessiner.

Pour rappel, Valérie Larose est co-auteur avec Didier Boursin des ouvrages Mathémagie des pliages et Pliages et mathématiques, que nous avons déjà présenté sur ce blog.

Des étoiles pour Noël

Pour le sapin ou la table de Noël, des étoiles très simples réalisées, une fois n'est pas coutume, à partir de feuilles triangulaires.

Trois triangles remarquables en un seul pli

Pour vous donner un petit aperçu de ce que sont les Origamics à la manière de Kazuo Haga, voici le tout premier problème présenté dans son ouvrage Origamics : Mathematical Explorations through Paper Folding.
Le pliage est très simple :

• On prend un carré $ABCD$.
• On marque $M$, le milieu de $[AB]$, par un pli court (qui amène $B$ sur $A$) puis on déplie.
• On plie pour amener le sommet $C$ sur $M$.

Trois triangles sont ainsi formés. Que peut-on en dire ? Explorez, conjecturez puis démontrez. Ensuite, déterminez les dimensions des triangles. Qu'ont-ils de particulier ?

Sous le projecteur : Origamics de K. Haga

Origamics : Mathematical Explorations through Paper Folding, de Kazuo Haga : le premier livre qui m'a fait entrer dans le monde des pliages mathématiques.

Ce livre est une mine d'or pour un cours de géométrie du milieu du secondaire. Avec quelques plis très simple, Haga nous invite à une exploration mathématique fascinante. Il a baptisé « origamics » ces origamis mathématiques.

Un paraboloïde hyperbolique en douze minutes

Une vidéo pour construire un paraboloïde hyperbolique en quelques minutes. La vidéo est en anglais, mais son auteur, Eric Gjerde, parle de manière très compréhensible. Le pliage est simple et rapide, mais le résultat est surprenant.

Le paraboloïde hyperbolique, appelé couramment "selle de cheval", est une surface réglée : elle est formée par la réunion d'une famille de droites.

Explications mathématiques

Pour en savoir plus sur les maths en jeu dans ce paraboloïde hyperbolique et avoir une explication en texte (et non vidéo) de la construction de cette surface en origami, je vous renvoie à la page http://xavier.hubaut.info/coursmath/vie/parabolo.htm .

Merci à  Ginette et Christiane de m'avoir partagé ces deux liens.

Angles et triangles dans un avion

Beaucoup de pliages décoratifs et ludiques peuvent donner l'occasion de travailler le vocabulaire géométrique avec les élèves (diagonales, médianes, axes de symétrie, médiatrices, bissectrices, figures planes, ...). Dans le même ordre d'idée, on peut utiliser des pliages classiques pour travailler l'argumentation en géométrie. Nous vous proposons de voir ici comment le pliage d'un simple avion de papier peut donner prétexte à une recherche mathématique sur des angles et des triangles.

Un tétraèdre en tickets de métro selon Micmaths

Mickaël Launey, alias Micmaths propose des mathématiques ludiques, notamment via des vidéos, à regarder sans modération. L'une d'elle nous propose de construire un tétraèdre en assemblant deux tickets de métro parisien pliés. La voici :

Vous avez peut-être remarqué que le premier pli qu'on est invité à faire est déterminé de manière approximative : Mickaël Launey indique qu'il faut plier de manière à "laisser un petit coin en haut", avec un "petit triangle qui fait à peu près cette dimension-là". Ce petit "coin de dépassement" est important, car c'est lui qui permettra d'emboîter de manière solide les deux modules (les "clipser" efficacement).

Mais où devrait-on plier exactement pour que le tétraèdre soit vraiment régulier ? La question est plutôt mathématique que pratique, car vous vous en doutez, les imprécisions de pliage rendent impossible une construction exacte en pratique. Elle peut quand même nous aider à comprendre quel format approximatif il faut choisir pour les deux cartons : pourquoi le format du ticket de métro convient-il bien, contrairement au format A4, par exemple.

C'est ce à quoi nous vous proposons de réfléchir ici...

Sous le projecteur : Mathémagie des pliages et Pliages et Mathématiques de D. Boursin et V. Larose

Pour nos premiers "Sous le projecteur", voici deux livres incontournables pour les francophones s'intéressant au pliage dans le contexte de l'enseignement des mathématiques : Mathémagie des pliages et Pliages et Mathématiques, de Didier Boursin et Valérie Larose, aux éditions ACL - Les Éditions du Kangourou.

Une équerre 30°-60° en pliage

On peut trouver sur le web des instructions ou des vidéos permettant de réaliser une équerre 30-60 en pliant une feuille rectangulaire ou carrée, mais souvent sans justification mathématique...

Nous vous proposons ici de d'abord découvrir un pliage de cette équerre et ensuite de justifier mathématiquement que les angles obtenus par ce pliage mesurent bien $30°$ et $60°$. Nous discuterons de deux niveaux d'argumentation possibles.

Quelques plis... pour explorer, conceptualiser et argumenter en mathématiques

Avec quelques plis dans une feuille de papier, on peut construire des polygones, des cubes, ou toutes sortes d'objets. Leur exploration peut se faire à tout âge, depuis de simples propriétés de symétries à des notions plus élaborées, faisant intervenir le théorème de Pythagore, les triangles isométriques ou encore la trigonométrie.

Les questions suscitées par la construction par pliage de perpendiculaires ou d'une bissectrice, d'un carré ou d'un solide, amènent à conceptualiser, à argumenter, à utiliser les propriétés des figures et à considérer les objets mathématiques sous un autre jour.

Un groupe de travail "Origami et maths" démarre au GEM !

Nous relançons un groupe de travail Origami et mathématiques au GEM (Groupe d'Enseignement Mathématique) dès septembre 2015. Nous accueillons avec plaisir des enseignants de tous niveaux intéressés par ce sujet.

Le GEM rassemble des enseignants du fondamental au supérieur, tous intéressés par l'enseignement des mathématiques.

Nous nous réunissons à Louvain-la-Neuve (Belgique), une après-midi toutes les trois semaines environ, pour discuter de nos enseignements, préparer des séquences de cours, des formations continues, rédiger des articles. 

Nous formons des sous-groupes, selon les sujets qui nous intéressent. En 2015-2016, outre le sous-groupe Origami et mathématiques, il y aura des sous-groupes Enseignement fondamental, Manipulations en mathématiques, GeoGebra.

Pour plus d'informations sur le GEM ou sur l'un des sous-groupes, consultez le site http://gem-math.be .