Un pentagone régulier dans un A4 ? (1)

Nous avons déjà parlé des propriétés particulières des rectangles de format A4. Aujourd'hui, nous allons nous intéresser à un premier pliage d'un pentagone à partir d'une feuille A4. D'autres suivront. Nous verrons que ce pliage peut notamment servir de support à une réflexion sur le sens des démonstrations.

Pliage

• Soit une feuille papier rectangulaire $ABCD$ de format A4, avec $|AB|<|BC|$.
• Plier pour amener le sommet $D$ sur le sommet $B$. Nommer $ABC'EF$ le pentagone non régulier obtenu. Ce pentagone admet un axe de symétrie.
• Plier ensuite pour marquer l'axe de symétrie de ce pentagone et déplier ce dernier pli. Nommer $H$ l'intersection de ce pli avec $[EF]$.
• Plier pour amener $[AF]$ parallèlement à l'axe $[BH]$, à $5\,$mm de celui-ci.
• Plier pour amener $[C'E]$ parallèlement à l'axe $[BH]$, à $5\,$mm de celui-ci.
• Nommer $IJKBL$ le pentagone obtenu.

 

Un pentagone régulier ?

Le pentagone $IJKBL$ est-il régulier ?

On peut se sentir décontenancé devant une telle question. Une vérification par pliage (ou par mesure des côtés et des angles) ne suffit évidemment pas pour conclure. Les angles semblent  se superposer assez bien, mais pas impeccablement, de même que les côtés. Cela peut induire un doute : les petites différences de mesure sont-elles seulement dues à des imprécisions de pliage ? Par ailleurs, la consigne "Plier pour amener $[AF]$ parallèlement à l'axe $[BH]$, à $5\,$mm de celui-ci" n'est pas habituelle, cette mesure de $5\,$mm peut sembler suspecte. On sent le besoin d'une justification rigoureuse.

Pour justifier de manière rigoureuse qu'un pentagone est réellement régulier (d'un point de vue théorique, sans se soucier des imprécisions de pliage), que devrait-on montrer ? Une première idée pourrait être de montrer que les cinq côtés du pentagone ont même longueur. Cependant, ce n'est pas suffisant, car un pentagone articulé n'est pas rigide (contrairement aux triangles, raison pour laquelle le triangle est à la base de nombreuses structures métalliques par exemple). Il faut donc également s'intéresser aux angles : montrer qu'ils sont égaux, ou montrer qu'ils mesurent $108^\circ$. (Pour être précis, si les cinq côtés sont isométriques, il suffit encore de montrer que deux angles seulement mesurent $108^\circ$ ou que trois angles ont même amplitude, comme lorsqu'on souhaite montrer qu'un losange est un carré, il suffit de montrer qu'un des quatre angles est droit). Notons qu'on pourrait aussi s'intéresser aux axes de symétrie du pentagone (mais là encore, il suffit de deux axes de symétrie pour être sûr que le pentagone est régulier).

Pour justifier de manière rigoureuse qu'un pentagone n'est pas régulier, on pourrait penser qu'il faut montrer que toutes les propriétés du pentagone régulier ne sont pas vérifiées (mesure des côtés et des angles). Mais ce n'est pas nécessaire. Il suffit en effet d'invalider une seule des propriétés d'un pentagone régulier pour montrer que la figure considérée n'en est pas un. (De la même manière que pour montrer qu'une figure n'est pas un carré, il suffit par exemple de montrer qu'un de ses angles n'est pas droit). Encore faut-il déterminer laquelle de ces propriétés invalider...

Par où commencer ? Le plus simple probablement est de s'intéresser d'abord à un angle ou une paire de côtés du pentagone, obtenu(e) après avoir effectué le moins d'étapes de pliage. Si déplie la feuille et qu'on reprend le pliage depuis le début, on réalise que le premier pli donne déjà l'angle $\widehat{JBK}$.

Détermination de l'angle $\widehat{JBK}$

Comment déterminer l'amplitude de $\widehat{JBK}$ ? Une idée qui vient souvent pour commencer, c'est que $|\widehat{JBK}|=|\widehat{JBF}|+90^\circ$, l'angle droit provenant de l'angle de sommet $D$ du rectangle d'origine. Mais la recherche de l'amplitude de l'angle $|\widehat{JBF}|$ semble difficile.

Nous allons plutôt utiliser l'axe de symétrie $BH$ plié à la seconde étape. Déplions tout à fait la feuille. Cette droite $BH$ est en fait la diagonale du rectangle $ABCD$. (En effet, cet axe de symétrie passe par $B$, confondu avec l'image de $D$ par la symétrie d'axe $EF$ et est perpendiculaire à $[FE]$.) L'angle $\widehat{JBK}$ vaut donc le double de l'angle  $\widehat{ABD}$. Or,
\[
\tan \widehat{ABD} = \frac{|AD|}{|AB|}=\sqrt{2},
\]
puisque le rectangle ABCD est de format A4. On trouve donc
\begin{align*}
|\widehat{JBK}|&=2|\widehat{ABD}|\\
&=2 \arctan \sqrt{2}\\
& \approx 2\cdot54,74\dots^\circ\\
& \approx 109,47\dots^\circ.
\end{align*}

L'angle $\widehat{JBK}$ du pentagone ne mesure donc pas $108^\circ$. On peut donc en conclure que le pentagone $IJKBL$ n'est pas régulier.

Exploitations en classe

• Au milieu du secondaire : la preuve que le pentagone n'est pas régulier permet notamment de réfléchir sur le sens et l'utilité des démonstrations ainsi que de réactiver les figures semblables (pour la découverte des propriétés du format A4), la somme des amplitudes des angles d'un polygone et la trigonométrie du triangle rectangle.
• Au primaire ou au début du secondaire : ce pentagone "presque régulier" est très facile à construire et convient très bien comme support à manipuler pour l'étude des polygones réguliers. On peut plier (et mettre en couleurs) les axes de symétrie de ce polygone par exemple.

 

Des pentagones vraiment réguliers en origami ?

La méthode de construction par pliage présentée ci-dessus est donc une méthode approximative de construction d'un pentagone régulier. Elle se base sur le fait que $\arctan \sqrt{2}$ est très proche de $108^\circ/2$.
On peut légitimement se demander s'il est possible de construire des pentagones théoriquement réguliers en origami. La réponse est oui. Le plus simple et le plus connu est probablement celui obtenu en réalisant un nœud dans une bande rectangulaire (voir par exemple l'article avec Patricia Wantiez cité ci-dessous pour une démonstration). D'autres pliages exacts existent à partir de feuilles carrées par exemple. Mais ceux-ci sont souvent relativement difficiles à plier (ce qui peut parfois impliquer des imprécisions de pliage qui les rendent en pratique "moins réguliers" que l'approximation avec la feuille A4 ci-dessus) et il n'est en général pas simple de prouver la régularité du pentagone obtenu.

Bibliographie

Vous trouverez ce pliage (ou une variante très proche) notamment dans les ouvrages suivants :

• Didier Boursin et Valérie Larose, Pliages et mathématiques, ACL - Les éditions du Kangourou, deuxième édition, 2000, p.18.
• Matthieu Colonval et Abdelatif Roumadni, Les maths au quotidien, Éditions Ellipses, 2009, p.70.

Il a été notamment étudié mathématiquement dans l'article :

• Patricia Wantiez et Laure Ninove, Exploiter le pliage pour démontrer au milieu du secondaire, Revue Losanges, n.20, SBPMef, mars 2013, pp. 32-42.