Un curieux parallélogramme

Dans l'article Plier un carré en deux, nous nous intéressions au pliage d'une feuille carrée de manière à obtenir une forme d'aire moitié. Parmi les solutions, se trouvait le parallélogramme suivant.

Le sommet du carré déplacé par le deuxième pli semble venir se positionner exactement sur le premier pli. Est-ce vraiment le cas ? Est-ce une coïncidence ? Obtiendrait-on quelque chose de similaire si la feuille était un rectangle quelconque ? Voire un parallélogramme ?

Plier un carré en deux

Voici une activité d'apparence toute simple, avec quelques solutions quasi-immédiates, mais qui peut pourtant se prolonger pour donner lieu à une réflexion plus approfondie.

"Pliez un carré de manière à obtenir une forme dont l’aire vaut la moitié de celle du carré.
Pouvez-vous trouver une autre solution que vos camarades ? Soyez créatifs !
Justifiez pourquoi votre pliage donne bien une aire moitié de celle du carré."

Cette activité m'a été suggérée par ma collègue néerlandaise Jacoliene van Wijk, dont je vous conseille le site web (en néerlandais), Wiskundig Vouwen.

Le problème admet plus de solutions qu'il n'y parait à première vue. Nous en explorons ci-dessous un certain nombre... 

Un pentagone régulier dans un carré ?

Nous nous étions déjà penchés sur le pliage d'un pentagone dans une feuille de papier rectangulaire de format A4. Ce pentagone, bien que régulier en apparence, n'était pas régulier de manière théoriquement exacte. Le pliage se basait sur une approximation de $108^\circ$ par $2\arctan\sqrt{2}$.

Nous allons ici nous intéresser à un autre pliage de pentagone, dans une feuille carrée cette fois. Celui-ci sera-t-il vraiment régulier ?

 

Un octogone décoré d'une étoile

Dans une vidéo Origamaths, Benoît (12 ans) présente comment plier un octogone régulier à partir d'une feuille carrée. L'octogone en lui-même est réalisé assez rapidement. Un peu de patience permet de le transformer en un bel objet : un octogone décoré d'une étoile à huit branches.

Plier un disque en six parts égales

Pour la fête de la Chandeleur, une fois n'est pas coutume, nous allons nous intéresser au pliage d'un disque : Comment partager un disque en six parts égales par pliage ?

Certains proposeront de plier d'abord le disque en deux, de repérer le milieu du diamètre puis d'obtenir des tiers du demi-disque par ajustement.

Mais peut-on faire une construction précise et justifiable mathématiquement, sans ajustement ?

Une étoile-couronne octogonale animée

Bientôt Noël... Voici une jolie étoile en origami modulaire. Ce modèle, créé par Robert Neale, est consitué de huit modules identiques et a la particularité d'être un origami animé : l'étoile se transforme en couronne. L'étoile de la photo ci-dessous a été pliée par Agathe et Théotime (8 et 10 ans).

Un tétraèdre régulier dans un A4

Dans cette vidéo, Benoît (10 ans), vous apprend à construire un tétraèdre à partir d'une simple feuille A4.

Ce tétraèdre semble régulier. Comment s'en convaincre rigoureusement ?

Un pentagone régulier dans un A4 ? (1)

Nous avons déjà parlé des propriétés particulières des rectangles de format A4. Aujourd'hui, nous allons nous intéresser à un premier pliage d'un pentagone à partir d'une feuille A4. D'autres suivront. Nous verrons que ce pliage peut notamment servir de support à une réflexion sur le sens des démonstrations.