Un curieux parallélogramme

Dans l'article Plier un carré en deux, nous nous intéressions au pliage d'une feuille carrée de manière à obtenir une forme d'aire moitié. Parmi les solutions, se trouvait le parallélogramme suivant.

Le sommet du carré déplacé par le deuxième pli semble venir se positionner exactement sur le premier pli. Est-ce vraiment le cas ? Est-ce une coïncidence ? Obtiendrait-on quelque chose de similaire si la feuille était un rectangle quelconque ? Voire un parallélogramme ?

Exploration : pliage dans un carré et un rectangle

Les deux plis réalisés relient chaque fois le milieu d'un côté à un sommet.

Les sommets déplacés semblent à chaque fois venir se positionner exactement sur l'autre pli, que la feuille soit carrée ou rectangulaire. 

Pourquoi ?

Justification

Pour fixer les idées, nous allons nous pencher sur le cas du carré. 

Il est clair que le quadrilatère formé par les deux plis et les deux bords de la feuille est un parallélogramme : c'est un quadrilatère convexe qui possède deux côtés parallèles (puisque les bords opposés de la feuille carrée sont parallèles) et de même longueur (la moitié de la longueur du côté du carré).

On en déduit donc que les deux plis, à savoir les deux autres côtés du parallélogramme, sont parallèles.

Une aide à la réflexion : un changement de point de vue sur la figure

Nous présentons ci-dessous trois preuves assez visuelles et peu calculatoires. Pour chacun de ces raisonnements, nous avons changé de point de vue sur la figure, en pivotant la feuille de manière à amener les plis à l'horizontale. Ceci permet de visualiser plus facilement des bases et hauteurs de figures, ou encore des bandes parallèles de même hauteurs.

Une preuve qui s'appuie sur des calculs d'aires

Tournons donc la feuille de papier dépliée de manière à voir les plis à l'horizontale. On y distingue un parallélogramme dont l'aire vaut la moitié de celle du carré de base et deux triangles dont l'aire vaut pour chacun le quart de celle du carré. 

Le triangle du bas et le parallélogramme partagent la même base. Or, puisque l'aire d'un triangle vaut la moitié du produit de la base par sa hauteur et que celle d'un parallélogramme vaut le produit de sa base par sa hauteur, on en déduit qu'ici, le triangle et le parallélogramme doivent avoir même hauteur.

Et donc, quand on replie le triangle, puisqu'il a la même hauteur que le parallélogramme, son sommet sera positionné sur le côté de ce parallélogramme opposé à la base.

Une preuve qui s'appuie sur la construction de bandes parallèles de même hauteur

Pour cette seconde preuve, gardons la feuille dépliée tournée de manière à ce que les plis soient positionnés de manière horizontale. Par des arguments de symétrie, on justifie aisément qu'en prolongeant les plis et en traçant les parallèles à ceux-ci passant par les deux autres sommets du carré, on construit trois bandes parallèles de même hauteur.

Intéressons-nous au triangle du bas, dont la base est sur le bord supérieur de la bande du bas et le sommet sur son autre bord. Puisque les bandes sont parallèles et de même hauteur, si on replie ce triangle (symétrie orthogonale dont le bord de la bande est l'axe), le sommet triangle obtenu sera également positionné sur le bord de la bande du milieu.

Une autre preuve qui s'appuie sur la décomposition du carré en quatre triangles isométriques

Pour cette troisième preuve, regardons encore la feuille déplié tournée de manière à ce que les plis soient horizontaux. Décomposons cette fois-ci le carré en quatre triangles isométriques, comme sur la figure ci-dessous, et intéressons-nous de plus près à celui de couleur vive.

 

Si on retourne ce triangle, en lui appliquant une symétrie orthogonale d'axe vertical, on obtient le triangle qui correspond au triangle qui serait replié via le pliage. Ils ont clairement même hauteur et donc le sommet du triangle replié par le pliage se situe bien sur le pli.

Et si on partait d'un rectangle ou d'un parallélogramme ?

Les trois raisonnements présentés peuvent être immédiatement transposés au cas du rectangle, et même à celui du parallélogramme. En effet, nulle part dans les raisonnements présentés plus haut, on n'utilise des propriétés d'égalité des quatre côtés ni de perpendicularité. L'élément clé est vraiment le parallélisme des deux plis.

Notons que dans certains cas, le volet replié dépasse du parallélogramme formé. Le sommet n'est plus alors sur le segment formé par le pli, mais bien sur son prolongement, comme sur la figure ci-dessous.

C'est d'ailleurs aussi le cas pour des rectangles très allongés. 

Une nouvelle question

Comme souvent quand on se penche sur un problème de maths et pliage, quand on arrive au bout de l'un, une nouvelle question se pose. Ici, on pourrait par exemple se demander quand les bords des deux triangles repliés viennent se mettre l'un contre l'autre.

Sans entrer dans les détails, voici deux figures qui illustrent deux familles de solutions.

Pour aller plus loin

Ce petit problème m'est apparu alors que je cherchais des solutions variées à l'activité Plier un carré en deux. C'est en tournant la feuille de papier que la première preuve – à partir des aires du triangle et du parallélogramme – m'est apparue.

Les changements de point de vue sont un outil puissant en géométrie. Thérèse Gilbert y a consacré deux articles que je vous conseille.

Gilbert, T. (2000). Quelques instruments de pensée en géométrie. Math-École, 193, 10-25.

GEM 10-15, et Gilbert, T. (2010). Instruments de la pensée géométrique. GEM Groupe d'Enseignement Mathématique.

Ninove, L. (2026).  Plier un carré en deux. OrigamiMaths.