Plier un carré en deux

Voici une activité d'apparence toute simple, avec quelques solutions quasi-immédiates, mais qui peut pourtant se prolonger pour donner lieu à une réflexion plus approfondie.

"Pliez un carré de manière à obtenir une forme dont l’aire vaut la moitié de celle du carré.
Pouvez-vous trouver une autre solution que vos camarades ? Soyez créatifs !
Justifiez pourquoi votre pliage donne bien une aire moitié de celle du carré."

Cette activité m'a été suggérée par ma collègue néerlandaise Jacoliene van Wijk, dont je vous conseille le site web (en néerlandais), Wiskundig Vouwen.

Le problème admet plus de solutions qu'il n'y parait à première vue. Nous en explorons ci-dessous un certain nombre... 

Des solutions plus ou moins immédiates 

Des solutions immédiates

Les deux solutions qui viennent le plus rapidement à l'esprit sont en général celles obtenues en réalisant un des plis primaires du carré : une médiane ou une diagonale. On obtient respectivement un rectangle et un triangle isocèle rectangle.

La justification se fait simplement par superposition : on a exactement deux couches de papier en tout point de la surface obtenue.

D'autres solutions mobilisant l'idée de superposition

L'idée de superposition peut amener à d'autres solutions, comme le carré ou le rectangle ci-dessous.

Notons que ce rectangle est isométrique à celui obtenu par le pli médiane, mais celui-ci présente une "ouverture de type armoire".

On peut aussi penser à une solution mixte, qui combine les deux précédentes, et obtenir ainsi un pentagone, comme ci-dessous.

On peut aussi penser à une légère variante du rectangle en pliage "armoire", ce qui amène non pas une nouvelle solution, mais une famille infinie de solutions !

Il suffit en effet de réaliser un premier pli quelconque parallèle à un des côtés, puis à réaliser un deuxième pli de manière à amener les deux côtés opposés du carré l'un contre l'autre.

Des solutions non basées sur la superposition

Les deux solutions suivantes, un parallélogramme et un triangle isocèle, peuvent être inspirées par des raisonnements différents.

L'un est basé sur des découpages : on décompose le carré en deux rectangles isométriques, puis on découpe chacun de ces rectangles en deux triangles isométriques par un pli selon leur diagonale.

Un autre serait de réfléchir en termes de formules d'aires. L'aire du parallélogramme étant donnée par le produit de sa base par la hauteur, si on garde la même hauteur que celle du carré, mais qu'on divise sa base en deux, on obtient un parallélogramme dont l'aire vaut la moitié de celle du carré. Le même type de raisonnement s'applique au triangle, dont l'aire est donnée par la moitié du produit de la base par la hauteur. On obtient donc un triangle d'aire moitié en prenant pour base et pour hauteur la longueur du côté du carré.

Remarquons que pour le triangle isocèle, des petits volets doit être repliés de manière à ne pas dépasser à l'extérieur du triangle. Nous avons colorié le volet visible en jaune sur la figure. L'autre est caché à l'intérieur du pliage.

Pour le parallélogramme par contre, le sommet de chacun des deux volets pliés arrive exactement sur l'autre pli, et ne dépasse pas à l'extérieur de la forme. (Ceci est une jolie petite propriété à démontrer, nous y consacrerons un prochain article sur ce blog.)

Des solutions à partir de calculs d'aires

L'idée de réfléchir à partir des formules d'aires peut amener à des solutions variantes du parallélogramme et du triangle isocèle. On peut ainsi construire une famille infinie de parallélogrammes d'aire moitié de celle du carré et une famille infinie de triangles d'aire moitié. 

Notons que la construction de ces triangles est relativement directe : il suffit de choisir un point quelconque d'un côté et de réaliser les deux plis passant par ce point et les sommets opposés, puis de replier les petits volets qui dépasseraient (en jaune sur la figure). Pour les parallélogrammes, c'est un peu plus délicat : il faut d'abord marquer sur un côté deux points distants de la moitié de la longueur du côté du carré, en amenant les deux extrémités de ce côté l'une sur l'autre, comme pour la variante du pliage "en armoire" du rectangle, puis de faire de même pour le côté opposé, avant d'enfin faire les plis qui relient les points construits de manière à faire le parallélogramme. Et puis replier les petits volets qui dépassent du parallélogramme obtenu (en jaune sur la figure).

Toujours en mobilisant le même genre d'idées, on peut construire un cerf-volant. On décompose d'abord le carré en deux triangles rectangles isocèles, en traçant sa diagonale. Ensuite, via la médiane de chaque triangle, on divise sa base en deux tout en conservant sa hauteur.

Des solutions à partir du centre de symétrie du carré

On peut aussi penser à couper le carré par une droite, quelconque, passant par le centre de symétrie du carré. Les deux figures obtenues par ce découpage sont images l'une de l'autre par symétrie centrale, elles sont isométriques et ont donc chacune comme aire la moitié de celle du carré.

En pliage, à part dans les deux cas particuliers du pli selon la médiane ou la diagonale du carré (ce qui donne les deux premières solutions trouvées), il y aura deux petits volets à replier pour qu'ils ne dépassent pas du trapèze rectangle d'aire moitié de celle du carré. Nous les avons coloriés en jaune sur la figure ci-dessous.

Le problème n'est pas épuisé...

On pourrait croire le problème épuisé, mais ce n'est pas le cas... On peut chercher des solutions un peu plus biscornues, comme la suivante, qui ôte à partir de deux sommets opposés du carré deux triangles rectangles isocèles dont l'hypoténuse mesure la longueur du côté du carré. Chacun de ces triangles représente un quart du carré. L'hexagone restant a donc une aire moitié de celle du carré.

Il est possible de faire cette construction uniquement par pliage, sans mesurage ou calcul. Cela revient en effet à construire un segment mesurant $\sqrt{2}/2$ fois la longueur du côté du carré... ce qui peut être lié au rectangle d'argent, que nous avons déjà évoqué dans plusieurs articles de ce blog, dont Un rectangle à partir de deux carré, qui présente la construction d'un tel rectangle à partir de deux feuilles carrées. Si vous n'avez qu'une seule feuille carrée à disposition, c'est également possible, voir par exemple mon article Constructions du rectangle d’argent dans la revue Losanges.

Nul doute qu'il existe encore multitude d'autres solutions, que je vous laisse le soin de chercher... 

Pourquoi cette activité ?

L'énoncé est simple, chacun peut facilement s'engager dans la réflexion et trouver une ou deux solutions rapidement, sans devoir faire appel à des propriétés mathématiques avancées. Elle peut néanmoins se prolonger, et la recherche de nouvelles solutions mène à une réflexion plus large, qui mobilise différentes notions mathématiques. Et le problème ne semble pas pouvoir être complètement bouclé rapidement. (D'ailleurs, de mon côté, à au moins deux reprises, au moment où je pensais avoir terminé de rédiger ce petit article, une nouvelle idée de solution m'est apparue et je me suis remise à l'ouvrage.)

C'est une activité qu'on pourrait qualifier de Low treshold, high ceiling, ce qu'on pourrait traduire par "seuil bas, plafond haut" : le seuil est bas au sens où chacun peut s'approprier facilement la tâche et s'engager dans la réflexion, mais le plafond est élevé, au sens où le problème est difficilement complètement épuisé et permet des développements qui maintiennent l'intérêt et la réflexion même des plus rapides.

Cette activité, de par son caractère Low threshold, high ceiling, se prête bien à être proposée en classe, voire à des groupes plus nombreux et/ou d'élèves d'âges différents : chaque élève y trouvera de quoi réfléchir à son niveau. De plus, elle demande peu de matériel : quelques petits carrés par élève, par exemple d'une boite bloc-notes cubique.

Sources

Cette activité m'a été suggérée par Jacoliene van Wijk, que je remercie chaleureusement. Elle se base sur la Planche 40 d'un ouvrage de 1874 présentant la pédagogie de Froebel.

Une activité semblable, dans laquelle on demande de découper un carré en deux parties superposables, a été décrite par Christine Docq et Nicolas Rouche.

La paternité du Low treshold, high ceiling est en général attribuée à Seymourt Papert, qui a développé le langage de programmation Logo (la Tortue). Bien que l'expression Low treshold, high ceiling ne se trouve pas mot pour mot dans son ouvrage Mindstorms, il y développe l'idée d'un environnement qui puisse être accessible à tous tout en permettant des développements puissants : "I wanted it to have the power of professional programming languages, but I also wanted it to have easy entry routes for nonmathematical beginners" (p.210).

L'équipe de recherche NRICH de l'Université de Cambridge propose de nombreuses activités Low threshold, high ceiling en mathématiques.

• van Wijk, J. (n.d.). De helft is de helft, Friedrich Fröbel. Wiskundig Vouwen.
• Goldammer, H. (1874). Der kindergarten : Handbuch der Fröbel’schen
  Erzeihungsmethode, Spielgaben und Beschäftigungen. Consultable en ligne sur : https://archive.org/details/derkindergarten00maregoog/page/n616/mode/2up 
• Docq, C. (2017). Des demi-carrés. Dans : T. Gilbert, L. Ninove (dir.) et le GEM, Le plaisir de chercher en mathématiques. Presses universitaires de Louvain.
• Docq, C. et Rouche, N. (1996). Couper en deux, c’est bête comme chou ! Voire. Dans : Mathématiques de 10 à 14 ans, Continuité et Compétences. Cellule de pilotage, Secrétariat général, Ministère de l’Éducation, de la Recherche et de la Formation.
• Rouche, N. et al. (2008). Du quotidien aux mathématiques, Géométrie. Ellipses.
• Papert, S. (1980). Mindstorms: Children, computers, and powerful ideas. Basic Books.
• NRICH (n.d.). Low threshold high ceiling – An introduction. University of Cambridge.
• Ninove, L. (2025). Un rectangle à partir de deux carrés. OrigamiMaths. 
• Ninove, L. (2021). Un rectangle nommé d’argent (2) : Constructions du rectangle d’argent. Losanges, 53, 3-11.