En prenant deux carrés identiques, en pliant l'un selon sa diagonale, en glissant l'autre entre les deux volets triangulaires formés, de manière à ce qu'un de ses côtés soit positionné au creux du pli et que les deux feuilles partagent un sommet, puis en pliant à travers toutes les couches de papier de manière à amener l'une sur l'autre les extrémités du premier pli, on obtient un rectangle. En quoi est-il bien particulier ?
Pliage
Les feuilles carrées doivent être de mêmes dimensions.
Plier la première feuille carrée selon sa diagonale.
Ensuite, glisser la seconde feuille carrée entre les deux volets de la première, de manière à amener l'un de ses côtés le long de l'hypoténuse du triangle formé par la première feuille et à avoir un sommet commun aux deux feuilles.
Plier alors, à travers toutes les couches de papier, de manière à amener l'une sur l'autre les extrémités de l'hypoténuse du triangle formé par la première feuille.
Un rectangle bien particulier
Le rectangle obtenu par le pliage de la deuxième feuille est ce qu'on appelle souvent un rectangle d'argent. Il est semblable (au sens géométrique du terme) à un rectangle de format de papier A4. Nous avons déjà consacré quelques posts à ce rectangle, qu'on utilise au quotidien. On peut prouver que ses côtés sont dans un rapport $1:\sqrt{2}$. Autrement dit, la longueur d'un tel rectangle a la même longueur que la diagonale d'un carré qui serait construit sur son petit côté.
Il n'est pas difficile ici de justifier que le rectangle obtenu par le pliage possède bien cette propriété.
On peut le faire de manière calculatoire : en posant que le côté des carrés d'origine vaut 1, la longueur de sa diagonale vaut $\sqrt{2}$. Le deuxième pli qui superpose les deux extrémités du premier pli n'est autre que la médiatrice de celui-ci, il marque donc la deuxième diagonale de la première feuille carrée. La largeur du rectangle obtenu mesure donc la moitié de la diagonale du carré, soit $\sqrt{2}/{2}$. Le rapport entre les deux côtés du rectangle vaut donc $(\sqrt{2}/2):1$, ce qui équivaut à $1:\sqrt{2}$.
On peut aussi raisonner sans calcul, en analysant des configurations géométriques. Si on déplie le deuxième pli réalisé, on obtient une configuration comme à la figure suivante, où le segment $[XY]$ a la même mesure que la longueur du rectangle formé (c'est le côté du carré initial) et forme par ailleurs un angle de $45^\circ$ avec les côtés du rectangle (suite au pli diagonal réalisé dans le premier carré). Ce segment $[XY]$ correspond donc à la diagonale d'un carré qui serait construit sur le court côté du rectangle. Le rectangle obtenu est donc bien un rectangle d'argent.
Et si nos carrés étaient issus de feuilles A4 ?
Si les carrés d'origine avaient été obtenus dans des feuilles A4, comme carrés les plus grands possibles qu'on peut y construire, le rectangle construit par notre pliage aurait les dimensions d'une feuille A5 (demi-A4), comme on peut s'en convaincre par la figure ci-dessous.
Sources
J'ai eu l'idée de ce pliage récemment, en cherchant des constructions variées de rectangles d'argent en peu de plis. Si vous trouvez une référence plus ancienne, merci de me prévenir.
Si vous vous intéressez aux propriétés étonnantes du format de papier A4, vous trouverez des idées et des références sur ce blog. J'y ai également consacré quelques articles dans la revue Losanges :
- Ninove, L. (2021). Un rectangle nommé d’argent (1) : Mathématiques du quotidien. Losanges, 52, 3-11.
- Ninove, L. (2021). Un rectangle nommé d’argent (2) : Constructions du rectangle d’argent. Losanges, 53, 3-11.
- Ninove. L. (2021). Un rectangle nommé d’argent (3) : Autour du cube. Losanges, 55, 3-9.
- Ninove, L. (2022). Un rectangle nommé d’argent (4) : Autour de l’octogone régulier. Losanges, 56, 3-10
