Un curieux parallélogramme

Dans l'article Plier un carré en deux, nous nous intéressions au pliage d'une feuille carrée de manière à obtenir une forme d'aire moitié. Parmi les solutions, se trouvait le parallélogramme suivant.

Le sommet du carré déplacé par le deuxième pli semble venir se positionner exactement sur le premier pli. Est-ce vraiment le cas ? Est-ce une coïncidence ? Obtiendrait-on quelque chose de similaire si la feuille était un rectangle quelconque ? Voire un parallélogramme ?

Plier un carré en deux

Voici une activité d'apparence toute simple, avec quelques solutions quasi-immédiates, mais qui peut pourtant se prolonger pour donner lieu à une réflexion plus approfondie.

"Pliez un carré de manière à obtenir une forme dont l’aire vaut la moitié de celle du carré.
Pouvez-vous trouver une autre solution que vos camarades ? Soyez créatifs !
Justifiez pourquoi votre pliage donne bien une aire moitié de celle du carré."

Cette activité m'a été suggérée par ma collègue néerlandaise Jacoliene van Wijk, dont je vous conseille le site web (en néerlandais), Wiskundig Vouwen.

Le problème admet plus de solutions qu'il n'y parait à première vue. Nous en explorons ci-dessous un certain nombre...