Un calendrier en dodécaèdre rhombique (1)

Avant que ne passe janvier, je vous propose de vous pencher sur un calendrier en origami modulaire créé par Nick Robinson.

Ce polyèdre possède 12 faces isométriques, mais n'est pas un polyèdre régulier : les faces sont des losanges et par ailleurs, quatre faces se rejoignent en certains sommets, alors que seulement trois faces se rejoignent en d'autres sommets.

Nous découvrirons ici pourquoi le pliage donne bien le polyèdre souhaité. Dans un prochain article, nous nous intéresserons à d'autres propriétés intéressantes de ce dodécaèdre, et notamment à l'agencement de modules de différentes couleurs de sorte que deux modules adjacents ne soient jamais de la même couleur.

Pliage

Le pliage du dodécaèdre est réalisé à partir de douze modules pliés dans des feuilles de format A4 (ou A5, ...).

Les instructions de pliage originales du dodécaèdre rhombique de Nick Robinson sont disponibles sur son site sous le nom A4 rhombic Unit.

Sur le site de Ole Arntzen, on peut télécharger les douze pages à imprimer pour plier un calendrier en dodécaèdre rhombique dans différentes langues et pour différentes années (on peut également télécharger le patron d'un calendrier en forme de dodécaèdre régulier).

Exploration mathématique

Le pliage du module est-il exact ?

Un dodécaèdre rhombique est un dodécaèdre dont les douze faces sont des losanges isométriques dont le rapport entre la grande et la petite diagonale vaut $\sqrt{2}$.

Nous avons déjà exploré les rectangles dont le rapport entre la longueur et la largeur vaut $\sqrt{2}$, il s'agit du rectangle de format A4 et des rectangles semblables à celui-ci. Comme nous l'avions vu, des rectangles de format A5 (demi A4), A6 (quart de A4), etc. sont tous semblables au A4.

Il est donc clair qu'un losange construit comme ci-dessous dans tel rectangle (semblable au A4) convient comme face de dodécaèdre rhombique.

En considérant un quadrillage de $4\times 4$ du rectangle, le losange suivant convient également.

Il nous reste donc à montrer que le pli qui amène le sommet inférieur gauche $D$ sur le milieu $M$ du côté $[AB]$ forme bien un côté de ce losange.

 

Déplions et intéressons-nous à ce pli.

• Ce pli est par construction la médiatrice du segment $[DM]$.
• Ce pli passe par le point $L$, puisque le $L$ est le milieu de $[DM]$.
• Il reste donc à montrer que le pli contient également le point $K$. Pour cela, on peut procéder à l'envers : on va montrer que la droite $LK$ est bien perpendiculaire à la droite $MD$ en $L$. Puisqu'il y a une seule perpendiculaire à une droite passant par un point donné, on aura montré que la droite $LK$ est bien la médiatrice de $[MD]$ et est donc bien le pli considéré.
• Puisque la feuille est de format A4, on sait que le rectangle $ABCD$ est semblable au rectangle $AMOD$.
• Par ailleurs, puisque le quadrillage a été construit de manière régulière, il est clair qu'un rectangle correspondant à une maille de ce quadrillage est également semblable aux deux rectangles $ABCD$ et $AMOD$.
• Dès lors, les deux triangles rectangles $LQM$ et $KQL$, avec $Q$ le centre du rectangle $ABCD$, sont semblables.
  
• Les deux angles $\widehat{QLK}$ et $\widehat{QLM}$ sont donc complémentaires : \[ \widehat{QLK}+\widehat{QLM} = \widehat{QLK}+\widehat{QKL} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\]

Par symétrie, les trois autres plis principaux forment les autres côtés du losange.

Extension des théorèmes de Haga dans un A4

Kazuo Haga s'est également intéressé au pli amenant, dans un A4, le point $D$ sur le point $M$ dans son ouvrage Origamics. Il prouve que ce pli coupe chacun des côtés $[AD]$ et $[CD]$ au quart de leur longueur. Il suffit de regarder le quadrillage du rectangle pour comprendre que cette propriété est évidement équivalente à ce que nous venons de montrer.

D'autres propriétés

Nous explorons d'autres propriétés de ce polyèdre dans Un calendrier en dodécaèdre rhombique (2) ainsi que dans Un calendrier en dodécaèdre rhombique (3).

Références

• Nick Robinson, A4 rhombic Unit .
• Ole Arntzen, A 12 sided calendar .
• Kazuo Haga, Origamics, Mathematical Explorations through Paper Folding, World Scientific, 2008.
• Laure Ninove, Fabuleux papier A4, OrigamiMaths, 2016.
• Laure Ninove, Un calendrier en dodécaèdre rhombique (2), OrigamiMaths, 2019. 
• Laure Ninove, Un calendrier en dodécaèdre rhombique (2), OrigamiMaths, 2019.
• Patricia Wantiez et Laure Ninove, Exploiter le pliage pour démontrer au milieu du secondaire, Revue Losanges, n.20, SBPMef, mars 2013, pp. 32-42. 

Merci à Math Fantasy d'avoir partagé le lien vers la page de Ole Arntzen.