Un petit panier de Pâques

Pour déposer quelques œufs de Pâques, voici un pliage tout simple. Il s'agit du "gobelet", pliage traditionnel qui pourrait être transformé en panier en y ajoutant une petite anse.

Le pliage est assez facile pour être réalisé par de jeunes enfants. Il peut être exploité mathématiquement à différents niveaux, pour des élèves du primaire et du secondaire.

Pliage

• Positionner la feuille carrée $ABCD$ avec la face blanche visible.

•  Plier pour amener le sommet $C$ sur le sommet $A$.

•  Plier pour amener le côté $AB$ le long du côté $DB$ (il suffit de plier une seule épaisseur de papier). Nommer $E$ le point obtenu à l'intersection du pli et de $AD$. Déplier.

•  Plier pour amener le sommet $B$ sur le point $E$. Nommer $F$ le point d'intersection de ce pli et de $AB$ et nommer $G$ son intersection avec $DB$.

•  Plier pour amener le sommet $D$ sur $F$. Nommer $H$ l'intersection de ce pli avec $BD$ et nommer $I$ l'intersection de $EG$ et $FH$.

•  Plier la couche supérieure de papier selon $EF$.

• Retourner le pliage et plier de nouveau la couche de papier restante selon $EF$. On obtient le gobelet illustré ci-dessous, qu'on peut utiliser comme petit panier.

Exploitation mathématique

Avec des plus jeunes

Avec des élèves plus jeunes, le pliage peut être l'occasion d'exploiter le vocabulaire géométrique, par la description des différentes étapes du pliage et la reconnaissance des figures obtenues : triangles, pentagone (non régulier), trapèze.

Avec des élèves plus âgés

Deux questions peuvent émerger lors du pliage :

1. Lorsqu'on plie pour amener le sommet $B$ sur le point $E$, le segment $[EF]$ obtenu semble parallèle au côté $[BD]$. Est-ce seulement une approximation ? Ou bien peut-on justifier mathématiquement que $EF$ est bien parallèle à $BD$ ?
   
2. Lorsqu'on plie la couche supérieure de papier selon $EF$, tout à la fin du pliage, le sommet semble se superposer à l'intersection $I$ de deux segments préalablement construits par le pliage. Approximation ou propriété justifiable mathématiquement ?
   
   
   

Essayons d'y voir plus clair.

1. Intéressons-nous d'abord à la question du parallélisme de $EF$ et $BD$. 
• Le point $E$ est construit comme étant l'intersection de la bissectrice de $\widehat{ABD}$ et de $AD$. On a donc $|\widehat{ABE}|=|\widehat{DBE}|$.
• Le pli suivant, qui amène $B$ sur $E$, superpose les angles $\widehat{FBE}$ et $\widehat{FEB}$, qui ont donc même amplitude (on peut aussi parler de médiatrice et de triangles isométriques).
  
• Par transitivité, on a donc $|\widehat{DBE}|=|\widehat{FEB}|$. Ces angles alternes-internes ayant même amplitude, les droites $EF$ et $BD$ sont donc parallèles.
2. Intéressons nous maintenant à la position du sommet quand il est replié selon $EF$.
• Le triangle $AEF$ est un triangle isocèle, rectangle en $A$. En effet, il possède un angle droit, correspondant à un sommet du carré initial. Par ailleurs, comme $EF$ est parallèle à $DB$, l'angle $\widehat{AFE}$, correspondant de l'angle $\widehat{ABD}$, mesure $45^\circ$ comme ce dernier.
  
• Le triangle $IEF$ est un triangle isocèle, rectangle en $I$. En effet, l'angle $\widehat{EFH}$ est par construction l'image par symétrie orthogonale de l'angle $\widehat{EDH}$. Or ce dernier mesure $45^\circ$ puisque c'est un angle du triangle rectangle isocèle $ADB$. Par le même raisonnement, on montre que $|\widehat{FEI}|=45^\circ$.
• Ces deux triangles rectangles isocèles ayant leur hypoténuse commune, ils sont isométriques. Ils sont superposables par le pli $EF$.