Un calendrier en dodécaèdre rhombique (2)

Il y a un certain temps, je vous avais proposé de vous pencher sur un calendrier en dodécaèdre rhombique, un origami modulaire de Nick Robinson.

Nous avions découvert pourquoi le pliage des douze modules dans des feuilles de format A4 donnait bien le polyèdre souhaité.

Nous allons à présent nous intéresser à une autre construction possible du dodécaèdre rhombique, à partir de deux cubes.

Un dodécaèdre rhombique à partir de deux cubes

Le dodécaèdre rhombique peut être construit en doublant un cube.

Imaginons qu'on ait deux cubes identiques. On garde l'un tel quel. Mais on découpe (par la pensée) le deuxième en six pyramides isométriques : pour chacune, la base est une des six faces du cube et le sommet est le centre du cube.

Si maintenant on colle chacune des pyramides à l'extérieur du premier cube, la base de chaque pyramide se superposant à une face du cube, on obtient un polyèdre dont on pourrait croire a priori qu'il possède $24$ faces triangulaires, correspondant aux quatre faces triangulaires des six pyramides.

Mais on constate que deux faces triangulaires adjacentes à la même arête du cube sont dans le prolongement l'une de l'autre et forment un losange ! Le polyèdre est en fait un dodécaèdre rhombique.

Il n'est pas difficile de justifier mathématiquement que le polyèdre obtenu par cette construction est effectivement un dodécaèdre rhombique.

• Le fait que les faces triangulaires sont bien dans le prolongement l'une de l'autre découle simplement du fait que dans une pyramide construite de la sorte à partir du cube, l'angle entre le plan de la base et le plan d'une face triangulaire de la pyramide mesure $45^\circ$.
• Le fait que les faces du dodécaèdre soient des losanges isométriques découle simplement du fait que chaque arête correspond à une demi-diagonale du cube.
•  Enfin, une simple application du théorème de Pythagore dans le cube permet de montrer que le rapport entre les deux diagonales d'une face en forme de losange vaut $\sqrt{2}$ (la grande diagonale du losange correspond au double de la hauteur d'une face triangulaire d'une pyramide, et la petite diagonale du losange correspond à une arête du cube), ce qui correspond bien à la propriété du dodécaèdre rhombique que nous avions explorée dans le premier article consacré à ce polyèdre.

On trouvera plus d'informations et de figures sur cette construction, ainsi que des commentaires historiques dans le dépliant Le cadeau de Kepler d'André Deledicq, aux éditions du Kangourou.

Un polyèdre qui pave l'espace

Le dodécaèdre rhombique pave l'espace. Cela signifie que si vous construisez plusieurs dodécaèdres rhombiques de mêmes dimensions, vous pouvez les agencer un peu comme des briques, sans chevauchement, et sans laisser d'espace vide. On s'en convainc assez facilement en considérant la construction du dodécaèdre rhombique à partir des deux cubes. En effet, on peut imaginer un pavage de l'espace "en damier tridimensionnel" par des cubes. On peut alors imaginer le pavage avec des dodécaèdres rhombiques en imaginant que les cubes noirs du "damier" correspondent au cubes supports à l'extérieur desquels les six pyramides triangulaires sont collées pour former les dodécaèdres rhombiques. Les cubes blancs du "damier" correspondent chaque fois à une pyramide pour six dodécaèdres rhombiques.
Les alvéoles des abeilles sont construites avec un tel pavage de l'espace. Pour plus de détails, on se référera à l'article La mathématique de l'abeille de Nicole Miéwis dans la revue Losanges ou au dépliant  Le cadeau de Kepler mentionné plus haut.

D'autres propriétés

Nous explorons d'autres propriétés encore de ce polyèdre dans Un calendrier en dodécaèdre rhombique (3).

Références

• Ole Arntzen, A 12 sided calendar .
• André Deledicq, Le cadeau de Kepler, ACL - les Éditions du Kangourou, 2005.
• Nicole Miéwis, La mathématique de l'abeille , Revue Losanges, n.2, SBPMef, 2008, pp. 12-20.
• Laure Ninove, Un calendrier en dodécaèdre rhombique (1), OrigamiMaths, 2017.
• Laure Ninove, Un calendrier en dodécaèdre rhombique (3), OrigamiMaths, 2019.
• Nick Robinson, A4 rhombic Unit .