Un curieux parallélogramme

Dans l'article Plier un carré en deux, nous nous intéressions au pliage d'une feuille carrée de manière à obtenir une forme d'aire moitié. Parmi les solutions, se trouvait le parallélogramme suivant.

Le sommet du carré déplacé par le deuxième pli semble venir se positionner exactement sur le premier pli. Est-ce vraiment le cas ? Est-ce une coïncidence ? Obtiendrait-on quelque chose de similaire si la feuille était un rectangle quelconque ? Voire un parallélogramme ?

Plier un carré en deux

Voici une activité d'apparence toute simple, avec quelques solutions quasi-immédiates, mais qui peut pourtant se prolonger pour donner lieu à une réflexion plus approfondie.

"Pliez un carré de manière à obtenir une forme dont l’aire vaut la moitié de celle du carré.
Pouvez-vous trouver une autre solution que vos camarades ? Soyez créatifs !
Justifiez pourquoi votre pliage donne bien une aire moitié de celle du carré."

Cette activité m'a été suggérée par ma collègue néerlandaise Jacoliene van Wijk, dont je vous conseille le site web (en néerlandais), Wiskundig Vouwen.

Le problème admet plus de solutions qu'il n'y parait à première vue. Nous en explorons ci-dessous un certain nombre... 

Un rectangle à partir de deux carrés

En prenant deux carrés identiques, en pliant l'un selon sa diagonale, en glissant l'autre entre les deux volets triangulaires formés, de manière à ce qu'un de ses côtés soit positionné au creux du pli et que les deux feuilles partagent un sommet, puis en pliant à travers toutes les couches de papier de manière à amener l'une sur l'autre les extrémités du premier pli, on obtient un rectangle. En quoi est-il bien particulier ?

Un calendrier en dodécaèdre rhombique (3)

Nous continuons l'exploration du dodécaèdre rhombique, qui peut être construit en origami modulaire avec un modèle de Nick Robinson . Dans la première partie de cette exploration, nous avions analysé pourquoi le pliage des douze modules dans des feuilles de format A4 donnait bien le polyèdre souhaité. Dans la seconde partie, nous avions vu comment ce dodécaèdre pouvait être construit à partir de deux cubes.

Nous allons à présent nous intéresser au coloriage des faces de ce polyèdre : combien de couleurs sont nécessaires pour colorier les faces du polyèdre de manière à ce que deux faces adjacentes n'aient jamais la même couleur ? Autrement dit, si je veux construire le dodécaèdre rhombique en origami modulaire avec douze modules, combien de couleurs de feuilles de papier dois-je prendre au minimum pour que je puisse assembler le dodécaèdre rhombique de manière à ce que deux faces adjacentes n'aient jamais la même couleur ?

Un calendrier en dodécaèdre rhombique (2)

Il y a un certain temps, je vous avais proposé de vous pencher sur un calendrier en dodécaèdre rhombique, un origami modulaire de Nick Robinson.

Nous avions découvert pourquoi le pliage des douze modules dans des feuilles de format A4 donnait bien le polyèdre souhaité.

Nous allons à présent nous intéresser à une autre construction possible du dodécaèdre rhombique, à partir de deux cubes.

Un octaèdre régulier évidé

En assemblant six bases de la bombe à eau, on peut construire un octaèdre régulier évidé.

Ce pliage est attribué à l'origamiste Robert Neale.  C'est un exemple d'origami modulaire : un objet obtenu par l'assemblage de plusieurs modules identiques. Dans ce cas-ci, les six modules sont très simples : chacun ne présente que quatre plis.

Des pigeons voyageurs en origami

Dans le cadre du Printemps des Sciences 2017 - Tous connectés !, le GEM Origami animera un atelier Des pigeons voyageurs en origami, à l'attention des élèves du secondaire inférieur.

Cet atelier est basé sur le travail Variations à partir d'un oiseau en origami, dont nous avons déjà parlé sur ce blog à l'occasion du 42e congrès de la SBPMef.

Les instructions de pliage (texte et figures) peuvent être téléchargées ici.

Des vidéos présentant le pliage de l'oiseau à partir d'une feuille carrée ou en forme de losange sont disponibles sur la chaine YouTube du GEM.

Trois articles sont publiés ou prévus dans la revue Losanges de la SBPMef :

• Laure Ninove, Isabelle Wettendorff et le sous-groupe GEM Origami, Variations à partir d'un oiseau en origami (Partie 1), Revue Losanges, n.35, SBPMef, décembre 2016, pp. 3-10.
• Laure Ninove, Isabelle Wettendorff et le sous-groupe GEM Origami, Variations à partir d'un oiseau en origami (Partie 2), Revue Losanges, n.36, SBPMef, mars 2017, à paraitre.
• Laure Ninove, Isabelle Wettendorff et le sous-groupe GEM Origami, Variations à partir d'un oiseau en origami (Partie 3), en préparation.

Glané sur le web : Des cuillères de cuisine en origami

L'origami fait régulièrement irruption dans notre quotidien via les magasins de décoration. Il s'invitera peut-être bientôt dans nos cuisines. Polygons Design a créé un objet plat qui se transforme en cuillère de contenance variée grâce à l'origami, et destiné à remplacer les cuillères de mesure dans les cuisines.

Peut-on établir une formule donnant la contenance d'une telle cuillère, pour une position donnée des plis, à l'aide de mathématiques accessibles à des élèves du secondaire ?

Un tétraèdre régulier dans un A4

Dans cette vidéo, Benoît (10 ans), vous apprend à construire un tétraèdre à partir d'une simple feuille A4.

Ce tétraèdre semble régulier. Comment s'en convaincre rigoureusement ?

Variations à partir d'un oiseau

Le GEM Origami présentera un atelier Variations à partir d'un oiseau en origami au 42e congrès de la SBPMef.

Le pliage classique de l'oiseau qui bat des ailes est réalisé à partir d'une feuille carrée. Voici des instructions écrites ainsi qu'une vidéo expliquant comment le réaliser.

Est-il possible d'obtenir un oiseau avec des ailes plus longues ou plus courtes, en réalisant le pliage à partir d’autres quadrilatères ?

Fabuleux papier A4

Avez-vous déjà réalisé la merveille que constitue une simple feuille A4 ?

En jouant à faire des agrandissements ou réductions à la photocopieuse, vous avez sans doute déjà remarqué qu'on peut réduire deux A4 (ou un A3) en un A4 de manière exacte, sans marges ni rognage, et de même, on peut agrandir un A5 en A4 de manière exacte.

Essayez de faire cela avec un rectangle d'une autre forme (par exemple un rectangle dont les côtés sont dans un rapport 1:2, un carré ou même une feuille au format US Letter mesurant 8,5 pouces sur 11 pouces), vous n'y arriverez pas.

D'où vient donc cette propriété si utile du format A4 ?

Dans la classe de Valérie Larose

Dans le reportage vidéo Apprendre les maths par le pliage (5 minutes), on suit Valérie Larose dans sa classe de 6e au collège Louise Weiss à Nozay (France).

Apprendre les maths par le pliage par Essonne-fr

 
Les élèves construisent des cubes à partir de bandes découpées dans une enveloppe fermée dans le but de travailler les propriétés du cube et de sa représentation en perspective. Ce pliage permet une construction très rapide d'un cube solide que l'élève peut manipuler, sur lequel il peut écrire, dessiner.

Pour rappel, Valérie Larose est co-auteur avec Didier Boursin des ouvrages Mathémagie des pliages et Pliages et mathématiques, que nous avons déjà présenté sur ce blog.

Trois triangles remarquables en un seul pli

Pour vous donner un petit aperçu de ce que sont les Origamics à la manière de Kazuo Haga, voici le tout premier problème présenté dans son ouvrage Origamics : Mathematical Explorations through Paper Folding.
Le pliage est très simple :

• On prend un carré $ABCD$.
• On marque $M$, le milieu de $[AB]$, par un pli court (qui amène $B$ sur $A$) puis on déplie.
• On plie pour amener le sommet $C$ sur $M$.

Trois triangles sont ainsi formés. Que peut-on en dire ? Explorez, conjecturez puis démontrez. Ensuite, déterminez les dimensions des triangles. Qu'ont-ils de particulier ?

Sous le projecteur : Origamics de K. Haga

Origamics : Mathematical Explorations through Paper Folding, de Kazuo Haga : le premier livre qui m'a fait entrer dans le monde des pliages mathématiques.

Ce livre est une mine d'or pour un cours de géométrie du milieu du secondaire. Avec quelques plis très simple, Haga nous invite à une exploration mathématique fascinante. Il a baptisé « origamics » ces origamis mathématiques.

Angles et triangles dans un avion

Beaucoup de pliages décoratifs et ludiques peuvent donner l'occasion de travailler le vocabulaire géométrique avec les élèves (diagonales, médianes, axes de symétrie, médiatrices, bissectrices, figures planes, ...). Dans le même ordre d'idée, on peut utiliser des pliages classiques pour travailler l'argumentation en géométrie. Nous vous proposons de voir ici comment le pliage d'un simple avion de papier peut donner prétexte à une recherche mathématique sur des angles et des triangles.

Une équerre 30°-60° en pliage

On peut trouver sur le web des instructions ou des vidéos permettant de réaliser une équerre 30-60 en pliant une feuille rectangulaire ou carrée, mais souvent sans justification mathématique...

Nous vous proposons ici de d'abord découvrir un pliage de cette équerre et ensuite de justifier mathématiquement que les angles obtenus par ce pliage mesurent bien $30°$ et $60°$. Nous discuterons de deux niveaux d'argumentation possibles.

Quelques plis... pour explorer, conceptualiser et argumenter en mathématiques

Avec quelques plis dans une feuille de papier, on peut construire des polygones, des cubes, ou toutes sortes d'objets. Leur exploration peut se faire à tout âge, depuis de simples propriétés de symétries à des notions plus élaborées, faisant intervenir le théorème de Pythagore, les triangles isométriques ou encore la trigonométrie.

Les questions suscitées par la construction par pliage de perpendiculaires ou d'une bissectrice, d'un carré ou d'un solide, amènent à conceptualiser, à argumenter, à utiliser les propriétés des figures et à considérer les objets mathématiques sous un autre jour.

Un groupe de travail "Origami et maths" démarre au GEM !

Nous relançons un groupe de travail Origami et mathématiques au GEM (Groupe d'Enseignement Mathématique) dès septembre 2015. Nous accueillons avec plaisir des enseignants de tous niveaux intéressés par ce sujet.

Le GEM rassemble des enseignants du fondamental au supérieur, tous intéressés par l'enseignement des mathématiques.

Nous nous réunissons à Louvain-la-Neuve (Belgique), une après-midi toutes les trois semaines environ, pour discuter de nos enseignements, préparer des séquences de cours, des formations continues, rédiger des articles. 

Nous formons des sous-groupes, selon les sujets qui nous intéressent. En 2015-2016, outre le sous-groupe Origami et mathématiques, il y aura des sous-groupes Enseignement fondamental, Manipulations en mathématiques, GeoGebra.

Pour plus d'informations sur le GEM ou sur l'un des sous-groupes, consultez le site http://gem-math.be .