Trois triangles remarquables en un seul pli

Pour vous donner un petit aperçu de ce que sont les Origamics à la manière de Kazuo Haga, voici le tout premier problème présenté dans son ouvrage Origamics : Mathematical Explorations through Paper Folding.
Le pliage est très simple :

• On prend un carré $ABCD$.
• On marque $M$, le milieu de $[AB]$, par un pli court (qui amène $B$ sur $A$) puis on déplie.
• On plie pour amener le sommet $C$ sur $M$.

Trois triangles sont ainsi formés. Que peut-on en dire ? Explorez, conjecturez puis démontrez. Ensuite, déterminez les dimensions des triangles. Qu'ont-ils de particulier ?

Analyse mathématique du pliage

Nommons les sommets des triangles obtenus comme sur la figure ci-contre. Les trois triangles considérés sont donc $AMF$, $BEM$ et $HGF$.

Des triangles rectangles

Les trois triangles sont des triangles rectangles. C'est probablement la première constatation que l'on peut faire, et qui se justifie aisément vu que chacun des triangles a pour sommet un des sommets de la feuille carrée.

Des triangles semblables

Les trois triangles $AMF$, $BEM$ et $HGF$ sont semblables.

• Les triangles $AMF$ et $HGF$ sont semblables car :
• leurs angles homologues $\widehat{A}$ et $\widehat{H}$ ont même amplitude (angles droits par construction),
• leurs angles homologues de sommet $F$ sont des angles opposés et ont donc également même amplitude.
• Les triangles $AMF$ et $BEM$ sont semblables car :
• leurs angles homologues $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ ont même amplitude (angles droits par construction),
• les angles $\widehat{AMF}$ et $\widehat{EMB}$ sont complémentaires (en effet, $|\widehat{AMF}|+|\widehat{HME}|+|\widehat{EMB}|=180°$ et $|\widehat{HME}|=90°$). Puisque les deux angles non droits d'un triangle rectangle sont également complémentaires, par transitivité, on a bien des angles homologues de mêmes amplitudes : $|\widehat{AMF}|=|\widehat{BEM}|$ et $|\widehat{MFA}|=|\widehat{EMB}|$.
  
  Le codage des angles sur la figure est très éclairant.

Des triangles pythagoriciens

Posons à $1$ la longueur du côté du carré et recherchons les dimensions des trois triangles.
Commençons par le triangle $MBE$.

• On sait que $|MB|=|AM|=\frac{1}{2}$.
• On sait également par construction que $|EM|=|EC|=1-|BE|$.
• Le triangle $MBE$ étant rectangle en $B$, le théorème de Pythagore nous dit que $|EM|^2=|BE|^2+|MB|^2$.

Par transitivité, en exploitant les trois égalités précédentes, on obtient \[1-2|BE|+|BE|^2=|BE|^2+\frac{1}{4},\] ce qui se ramène à $|BE|=\frac{3}{8}$. On peut ensuite calculer $|EM|= \frac{5}{8}$.
Les dimensions de $MBE$ sont donc $|BE|=\frac{3}{8}$, $|MB|=\frac{4}{8}$ et $|EM|=\frac{5}{8}$.
Le triangle $MBE$ est donc semblable au triangle Pythagoricien de mesures $3$, $4$ et $5$ !

On peut ensuite déterminer les dimensions de $AMF$ et $HGF$. Pour cela,

• on exploite le fait que les triangles sont semblables ;
• on se souvient que $|AM|=\frac{1}{2}$ ;
• on utilise le faire que, par construction, $|HF|=1-|FM|$.

Notons que pour simplifier les calculs et ne pas devoir s'encombrer de fractions, on peut poser à $24$ la longueur du côté du carré. Dans ce cas, on obtient comme mesures de côtés :

• $9$, $12$ et $15$ pour le triangle $BEM$,
• $12$, $16$ et $20$ pour le triangle $AMF$,
• $3$, $4$, et $5$ pour le triangle $HGF$.