Des étoiles pour Noël

Pour le sapin ou la table de Noël, des étoiles très simples réalisées, une fois n'est pas coutume, à partir de feuilles triangulaires.

Pliage

Une étoile est réalisée à partir de deux feuilles triangulaires de mêmes dimensions. En prenant deux feuilles de couleurs différentes, on obtient une feuille bicolore. Seule une face du papier sera visible dans le pliage final. Les deux feuilles seront pliées exactement de la même manière (les plieurs parlent de "modules").
Il faut donc partir de deux triangles équilatéraux. Dans un prochain article, on détaillera la construction d'un triangle équilatéral à partir d'une feuille carrée ou rectangulaire. Si vous ne connaissez pas de telle construction par pliage, je vous invite ici à construire vos triangles équilatéraux soit à partir d'une construction règle et compas, soit à l'aide de votre équerre.

Sur la photo ci-dessous, vous trouverez les principales étapes du pliage.

1. Prendre une feuille triangulaire. Plier selon ses trois axes de symétrie, en dépliant à chaque fois.
2. Plier pour amener chaque sommet du triangle sur le point d'intersection des plis de l'étape précédente. On obtient un hexagone dont trois côtés sont constitués d'une seule épaisseur de papier et trois constitués de deux épaisseurs de papier.
3. Plier vers l'arrière pour amener chaque milieu de côté de simple épaisseur sur le point d'intersection des plis de la première étape. On obtient un triangle.
4. Sur la face arrière du triangle, on a trois volets qui se croisent. Pour solidifier le pliage (et le rendre entièrement symétrique), on va glisser une des deux extrémités du volet supérieur en-dessous du volet inférieur. C'est la même idée que quand on ferme une caisse de déménagement en carton sans papier collant, à part qu'ici on a trois volet et pas quatre. Si on appelle les trois volets A, B et C, on doit donc s'arranger pour que A recouvre B, B recouvre C et C recouvre A.
5. On remet le triangle avec sa face avant au-dessus, avec trois losanges visibles. On prend une deuxième feuille de papier et on lui applique les étapes 1 à 4. On assemble les deux triangles comme sur la photo. On n'oublie pas de rendre visible le troisième losange du triangle du dessous.
6. Et voilà l'étoile terminée.

 Exploitation mathématique du pliage

Quelques idées d'exploitation mathématique du pliage.

• Le pliage, accessible aux enfants en âge d'école primaire, peut donner une bonne occasion d'utiliser le langage géométrique en contexte ludique. On peut s'exercer à utiliser les termes géométriques précis et correct.
• On peut aussi demander aux enfants re reconnaître et nommer différentes figures géométriques qui interviennent lors le pliage, comme le triangle équilatéral, l'hexagone régulier, un losange ou encore un trapèze isocèle.
• Le pliage de la deuxième étape (quand on plie pour  amener chaque sommet du triangle sur le point d'intersection des axes de symétrie) fait apparaître le découpage de l'hexagone régulier en six triangles équilatéraux isométriques, ou encore le découpage du triangle équilatéral d'origine (déplié donc) en neuf triangles équilatéraux, dont les côtés mesurent le tiers de la longueur du côté du triangle original.
• On peut également faire un travail sur les aires des différentes figures obtenues en cours de pliage (petits triangles équilatéraux et hexagone régulier de la deuxième étape, triangle équilatéral obtenu à la troisième étape, losanges et étoile finale).
• Les premiers plis se font selon des axes de symétrie du triangle. Puisque le triangle est équilatéral, ils correspondent également aux médianes, médiatrices, bissectrices et hauteurs du triangle. Le point d'intersection de ces plis est donc à la fois centre de gravité (médianes), centre du cercle circonscrit (médiatrices) et centre du cercle inscrit (bissectrices) du triangle. On peut aussi remarquer que ce point est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet correspondant. Cette information est centrale pour le découpage du triangle en neuf triangles plus petits ou pour la justification que l'hexagone est bien régulier.
• Avec des élèves plus âgés, on peut aussi vouloir justifier que l'hexagone obtenu à la deuxième étape est bien un hexagone régulier.