Angles et triangles dans un avion

Beaucoup de pliages décoratifs et ludiques peuvent donner l'occasion de travailler le vocabulaire géométrique avec les élèves (diagonales, médianes, axes de symétrie, médiatrices, bissectrices, figures planes, ...). Dans le même ordre d'idée, on peut utiliser des pliages classiques pour travailler l'argumentation en géométrie. Nous vous proposons de voir ici comment le pliage d'un simple avion de papier peut donner prétexte à une recherche mathématique sur des angles et des triangles.

Pliage

• Soit une feuille de papier rectangulaire $ABCD$, avec $|AB|<|BC|$ (une feuille A4 ou A5 convient bien).
• Plier pour amener $A$ sur $B$. Déplier. Nommer $M$ et $N$ les extrémités de ce pli, avec $M$ sur $[AB]$ et $N$ sur $[CD]$ respectivement.
• Plier pour amener $[AM]$ sur $[MN]$. Noter $E$ le point d'intersection du pli avec $[AD]$.
• Plier pour amener $[ME]$ sur $[MN]$ et noter $F$ le point d'intersection du pli avec $[AD]$.
• Faire la même chose de manière symétrique par rapport au pli $[MN]$ pour obtenir les points $G$ et $H$ sur $[BC]$.
  
  C'est ici qu'on arrête le pliage pour l'étudier géométriquement. Pour terminer l'avion (en prenant une autre feuille de papier par exemple), replier selon $[MN]$ pour amener le trapèze $MNCH$ sur $MNDF$. Ensuite, plier parallèlement à $MN$ de part et d'autre du pliage pour former les ailes de l'avion (le choix de la position exacte de ces deux derniers plis, symétriques, est laissé la créativité du plieur).
• Déplier entièrement la feuille.

Exploration mathématique

Quels sont tous les triangles particuliers qui apparaissent (en ne considérant que les plis) ? En particulier, quelle est la nature des triangles $MEF$ et $MGH$ ?

Avant de lire la suite, prenez le temps de réfléchir par vous-mêmes !

Des triangles rectangles isocèles

Les triangles $MAE$ et $MBG$ sont des triangles rectangles isocèles : l'angle droit est celui de la feuille, et un angle de $45°$ est obtenu en pliant selon la bissectrice de $\widehat{AMN}$ ou $\widehat{BMN}$.

Des triangles rectangles non isocèles

Les triangles $MAF$ et $MBH$ sont des triangles rectangles non isocèles : l'angle droit est celui de la feuille et les deux autres mesurent $67,5°$ et $22,5°$. L'amplitude de $67,5°$ correspond aux $45°$ de $\widehat{AME}$ et aux $22,5°$ de $\widehat{EMF}$, obtenu en pliant selon la bissectrice de $\widehat{EMN}$.

Des triangles isocèles obtusangles

Enfin, on peut montrer que les triangles obtusangles $MEF$ et $MGH$ sont isocèles. Cela n'est pas évident a priori lors de l'observation du pliage. Nous proposons ici deux preuves différentes.

• Via des angles alternes-internes - Les angles $\widehat{EMF}$ et $\widehat{NMF}$ ont même amplitude par pliage, car $MF$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{EMN}$. Par ailleurs, les angles $\widehat{NMF}$ et $\widehat{EFM}$ sont alternes-internes déterminés par deux parallèles, ils ont donc même amplitude. Par transitivité, les angles $\widehat{EMF}$ et $\widehat{EFM}$ ont même amplitude. Le triangle est donc isocèle.
• Via la somme des amplitudes des angles d'un triangle - On a déjà dit que le triangle $AME$ était rectangle isocèle. Les deux angles $\widehat{AEM}$ et $\widehat{FEM}$ étant supplémentaires, on a donc $|\widehat{FEM}|=135°$. Par ailleurs, $|\widehat{FME}|=22,5°$, puisque $MF$ est la bissectrice d'un angle de $45°$. La somme des amplitudes des angles d'un triangle valant $180°$, on en déduit donc que $|\widehat{EFM}|=22,5°$ et que le triangle est isocèle.

Attention, on pourrait être tenté de montrer par pliage que le triangle $MEF$ est isocèle en faisant un nouveau pli pour constater la superposition de ses côtés.  Mais ce n'est pas une preuve géométrique acceptable, mais bien de la vérification par pliage, semblable à une mesure à la latte de la longueur des deux segments. On a déjà discuté de ces différents niveaux d'argumentation lors de la construction d'une équerre 30-60.

Variantes

• On pourrait demander aux élèves de décrire géométriquement la construction, pour permettre par exemple à quelqu'un qui n'aurait pas fait le pliage de tracer la figure. Pour cela, ils devraient utiliser le vocabulaire géométrique adéquat et en particulier nommer les droites correspondant aux plis effectués : bissectrices, médianes, médiatrices, ...
• On pourrait aussi vouloir ajouter des perpendiculaires $[EG]$ et $[FH]$ à l'axe de symétrie $[MN]$. On obtient alors d'autres triangles. Le triangle $EMG$, par exemple, est un triangle rectangle isocèle.
• On a mentionné au début que la feuille devait être rectangulaire, de format A4 par exemple. Un simple exercice de trigonométrie permet de calculer le rapport $\frac{|AD|}{|AB|}$ pour que le pli $[MF]$ soit bien sur la feuille :
  \[\frac{|AD|}{|AB|}\ge\frac{|AF|}{|AB|} =\frac{1}{2}\tan 67,5°.\]
• On peut aussi répondre à la question précédente sans utiliser de trigonométrie, mais en utilisant le théorème de Pythagore et le fait que le triangle $MEF$ est isocèle. On trouve alors une autre expression du rapport $\frac{|AD|}{|AB|}$ pour que le pli $[MF]$ soit bien sur la feuille :
  \[\frac{|AD|}{|AB|}\ge \frac{|AF|}{|AB|}=\frac{1}{2}(1+\sqrt{2}).\]
•  En rapprochant ces deux expressions de $\frac{|AF|}{|AB|}$, on trouve la valeur exacte de $\tan 67,5°$:
  \[\tan 67,5° = 1+\sqrt{2},\]
  résultat qui se vérifie aisément à l'aide d'une calculatrice.

Bibliographie

Ce pliage a été notamment étudié dans l'article :

• Patricia Wantiez et Laure Ninove, Exploiter le pliage pour démontrer au milieu du secondaire, Revue Losanges, n.20, SBPMef, mars 2013, pp. 32-42.