Un octaèdre régulier évidé

En assemblant six bases de la bombe à eau, on peut construire un octaèdre régulier évidé.

Ce pliage est attribué à l'origamiste Robert Neale.  C'est un exemple d'origami modulaire : un objet obtenu par l'assemblage de plusieurs modules identiques. Dans ce cas-ci, les six modules sont très simples : chacun ne présente que quatre plis.

Pliage

Pour ce pliage, il faut six feuilles carrées de mêmes dimensions, de préférence de trois couleurs différentes (pour le pliage de notre photo : deux feuilles rouges, deux feuilles oranges et deux feuilles jaunes).
Avec chacune des six feuilles, on réalise d'abord ce que les origamistes appellent une base de la bombe à eau : on plie selon les diagonales en vallée, selon les médianes en montagne, puis on met en forme en trois dimensions en poussant le centre du carré vers l'arrière et en ramenant les milieux des côtés vers soi. La forme obtenue peut faire penser à un sapin.

Si la forme obtenue ne ressemble pas à la base de la bombe à eau, il est probable que vous ayez plié une base préliminaire. Dans ce cas, vous pouvez retrouver une base de la bombe à eau par simple retournement.

L'assemblage des six modules peut nécessiter de travailler à quatre mains. Certains préfèrent assembler d'abord trois modules de couleurs différentes en coin, comme ci-dessous à gauche. D'autres préfèrent rapprocher d'abord face à face deux modules de même couleur, comme ci-dessous à droite.

Deux remarques utiles :

• On a  veillé lors de l'assemblage à recouvrir les jaunes par les oranges, les oranges par les rouges et enfin les rouges par les jaunes.
• On a également veillé à avoir les deux modules jaunes l'un en face de l'autre, les deux oranges l'un en face de l'autre et également les deux rouges l'un en face de l'autre.

Voici une présentation du pliage en vidéo par un enfant de 9 ans.

Exploitation mathématique

• Dans le cadre de l'étude des solides de l'espace (sommets, arêtes, faces) et des positions relatives dans l'espace, l'exploration de cet octaèdre change de l'étude du cube ou du parallélépipède.
• L'observation du pliage met bien en évidence les trois carrés formés par quatre sommets de l'octaèdre. C'est d'autant plus clair si on a réalisé le pliage avec trois couleurs comme ci-dessus : le squelette de l'octaèdre est constitué de trois carrés qui s'interpénètrent, un carré de chacune des trois couleurs.
• Le pliage peut aussi être utile pour visualiser un repère à trois dimensions.
• On peut l'exploiter dans le cadre de problèmes d'application du théorème de Pythagore dans l'espace. Si on connait la formule de volume d'une pyramide, on peut chercher à calculer le volume de l'octaèdre en fonction de la longueur d'une de ses arêtes.
• On peut aussi chercher les dimensions des feuilles avec lesquelles il faudra plier les modules afin que l'octaèdre régulier soit le dual d'un cube donné.