Glané sur le web : Des cuillères de cuisine en origami

L'origami fait régulièrement irruption dans notre quotidien via les magasins de décoration. Il s'invitera peut-être bientôt dans nos cuisines. Polygons Design a créé un objet plat qui se transforme en cuillère de contenance variée grâce à l'origami, et destiné à remplacer les cuillères de mesure dans les cuisines.

Peut-on établir une formule donnant la contenance d'une telle cuillère, pour une position donnée des plis, à l'aide de mathématiques accessibles à des élèves du secondaire ?

Pliage

Pliage d'origine

Pour une position particulière, on peut modéliser les plis de la cuillère de Polygons Design par le dessin suivant :

Après le pliage selon ces plis amenant $S_1$ et $S_2$ en un même point, la partie récipient de la cuillère forme un tétraèdre $PQRS$.

Le tétraèdre ayant un plan de symétrie, il est possible d'exprimer le volume du tétraèdre en fonction de $a$, $b$, $c$ et $d$ en utilisant le théorème de Pythagore et la formule de Héron. Mais son expression est longue et pénible à écrire. Et si on s'inspirait du pliage pour réaliser une variante, pour laquelle le calcul du volume serait plus simple ?

Variante du pliage

Choisissons les points $S_1$ et $S_2$ de sorte que $RS_1$ et $RS_2$ soient perpendiculaires aux bords $PS_1$ et $QS_2$. On a donc $d=a$.

Exploration globale de la variante du pliage

Dans la variante du pliage, comme dans le pliage d'origine, le tétraèdre $PQRS$ possède un plan de symétrie.

Dans le cas du pliage d'origine et de la variante, deux des faces du tétraèdre sont des triangles isocèles. Dans la variante, les deux autres faces $PSR$ et $QSR$ sont en outre des triangles rectangles en $S$.

Par ailleurs, l'inégalité trangulaire impose que $b>a$. La condition $c>a$ est alors automatiquement vérifiée puisque par le théorème de Pythagore, $c=\sqrt{a^2+b^2}$. 

Calcul du volume du tétraèdre

Pour tirer parti des faces en forme de triangle rectangle, il est judicieux de changer de point de vue en retournant le tétraèdre, de sorte que la face ouverte de la cuillère soit déposée sur la table. (Pour la photo ci-dessous, on a retiré le manche de la cuillère, en découpant selon $RS$.)

On est donc face à une pyramide de base $PQS$ et de hauteur $SR$. Le triangle $PQS$ étant isocèle de sommet $S$, la hauteur relative à sa base $PQ$ peut être calculée par une simple application du théorème de Pythagore, elle vaut $\sqrt{b^2-a^2}$. L'aire de la base de la pyramide vaut donc $a\sqrt{b^2-a^2}$. Sachant que la hauteur $SR$ de la pyramide mesure quant à elle $a$, on trouve que le volume de la pyramide vaut \[\frac{a^2\sqrt{b^2-a^2}}{3}.\]


Merci à Patricia de m'avoir partagé la vidéo de Polygons Design !