Prenons un triangle dessiné sur une feuille de papier. On peut clairement le découper à l'aide de trois coupes en ligne droite (coups de ciseaux ou rogneuse).
Mais pourrait-on commencer par plier la feuille de papier pour découper le triangle en une seule coupe en ligne droite ? Voici un triangle pour lequel on a réalisé cette coupe magique.
Est-ce possible pour tous les triangles ? Et comment faut-il plier ?
Pour la fête de la Chandeleur, une fois n'est pas coutume, nous allons nous intéresser au pliage d'un disque : Comment partager un disque en six parts égales par pliage ?
Certains proposeront de plier d'abord le disque en deux, de repérer le milieu du diamètre puis d'obtenir des tiers du demi-disque par ajustement.
Mais peut-on faire une construction précise et justifiable mathématiquement, sans ajustement ?
Avant que ne passe janvier, je vous propose de vous pencher sur un calendrier en origami modulaire créé par Nick Robinson.
Ce polyèdre possède 12 faces isométriques, mais n'est pas un polyèdre régulier : les faces sont des losanges et par ailleurs, quatre faces se rejoignent en certains sommets, alors que seulement trois faces se rejoignent en d'autres sommets.
Nous découvrirons ici pourquoi le pliage donne bien le polyèdre souhaité. Dans un prochain article, nous nous intéresserons à d'autres propriétés intéressantes de ce dodécaèdre, et notamment à l'agencement de modules de différentes couleurs de sorte que deux modules adjacents ne soient jamais de la même couleur.
Bientôt Noël... Voici une jolie étoile en origami modulaire. Ce modèle, créé par Robert Neale, est consitué de huit modules identiques et a la particularité d'être un origami animé : l'étoile se transforme en couronne. L'étoile de la photo ci-dessous a été pliée par Agathe et Théotime (8 et 10 ans).
Pour une fois, il ne s'agit pas de maths, mais de littérature. Une amie m'a offert Monsieur Origami, un roman de Jean-Marc Ceci, aux éditions Gallimard. J'ai pris beaucoup de plaisir à le lire.
Petit extrait choisi :
Assis en zazen pendant des heures, Maître Kurogiku fixe son attention sur les lignes d'une feuille d'origami dépliée.
Il retrace les étapes des plis jusqu'à ce que, par la force de la pensée, il parvienne à replier le papier.
L'origami fait régulièrement irruption dans notre quotidien via les magasins de décoration. Il s'invitera peut-être bientôt dans nos cuisines. Polygons Design a créé un objet plat qui se transforme en cuillère de contenance variée grâce à l'origami, et destiné à remplacer les cuillères de mesure dans les cuisines.
Peut-on établir une formule donnant la contenance d'une telle cuillère, pour une position donnée des plis, à l'aide de mathématiques accessibles à des élèves du secondaire ?
Le pliage classique de l'oiseau qui bat des ailes est réalisé à partir d'une feuille carrée. Voici des instructions écrites ainsi qu'une vidéo expliquant comment le réaliser.
Est-il possible d'obtenir un oiseau avec des ailes plus longues ou plus courtes, en réalisant le pliage à partir d’autres quadrilatères ?
Nous avons déjà parlé des propriétés particulières des rectangles de format A4. Aujourd'hui, nous allons nous intéresser à un premier pliage d'un pentagone à partir d'une feuille A4. D'autres suivront. Nous verrons que ce pliage peut notamment servir de support à une réflexion sur le sens des démonstrations.
Avez-vous déjà réalisé la merveille que constitue une simple feuille A4 ?
En jouant à faire des agrandissements ou réductions à la photocopieuse, vous avez sans doute déjà remarqué qu'on peut réduire deux A4 (ou un A3) en un A4 de manière exacte, sans marges ni rognage, et de même, on peut agrandir un A5 en A4 de manière exacte.
Essayez de faire cela avec un rectangle d'une autre forme (par exemple un rectangle dont les côtés sont dans un rapport 1:2, un carré ou même une feuille au format US Letter mesurant 8,5 pouces sur 11 pouces), vous n'y arriverez pas.
D'où vient donc cette propriété si utile du format A4 ?
Dans sa précédente vidéoOrigamaths, Benoît vous expliquait le pliage du module de Sonobe. Dans celle-ci, il vous montre comment assembler six modules de Sonobe pour construire un cube.
Une première vidéo Origamaths de Benoît, 9 ans. Il vous présente comment plier le module de Sonobe, qui permet de construire des cubes, des étoiles, et bien d'autres solides encore. Des vidéos présentant l'assemblage du cube, de l'hexaèdre à faces triangulaires et des étoiles suivront.
Dans le reportage vidéo Apprendre les maths par le pliage (5 minutes), on suit Valérie Larose dans sa classe de 6e au collège Louise Weiss à Nozay (France).
Les élèves construisent des cubes à partir de bandes découpées dans une enveloppe fermée dans le but de travailler les propriétés du cube et de sa représentation en perspective. Ce pliage permet une construction très rapide d'un cube solide que l'élève peut manipuler, sur lequel il peut écrire, dessiner.
On marque $M$, le milieu de $[AB]$, par un pli court (qui amène $B$ sur $A$) puis on déplie.
On plie pour amener le sommet $C$ sur $M$.
Trois triangles sont ainsi formés. Que peut-on en dire ? Explorez, conjecturez puis démontrez. Ensuite, déterminez les dimensions des triangles. Qu'ont-ils de particulier ?
Origamics : Mathematical Explorations through Paper Folding, de Kazuo Haga : le premier livre qui m'a fait entrer dans le monde des pliages mathématiques.
Ce livre est une mine d'or pour un cours de géométrie du milieu du secondaire. Avec quelques plis très simple, Haga nous invite à une exploration mathématique fascinante. Il a baptisé « origamics » ces origamis mathématiques.
Une vidéo pour construire un paraboloïde hyperbolique en quelques minutes. La vidéo est en anglais, mais son auteur, Eric Gjerde, parle de manière très compréhensible. Le pliage est simple et rapide, mais le résultat est surprenant.
Le paraboloïde hyperbolique, appelé couramment "selle de cheval", est une surface réglée : elle est formée par la réunion d'une famille de droites.
Explications mathématiques
Pour en savoir plus sur les maths en jeu dans ce paraboloïde hyperbolique et avoir une explication en texte (et non vidéo) de la construction de cette surface en origami, je vous renvoie à la page http://xavier.hubaut.info/coursmath/vie/parabolo.htm .
Merci à Ginette et Christiane de m'avoir partagé ces deux liens.
Beaucoup de pliages décoratifs et ludiques peuvent donner l'occasion de travailler le vocabulaire géométrique avec les élèves (diagonales, médianes, axes de symétrie, médiatrices, bissectrices, figures planes, ...). Dans le même ordre d'idée, on peut utiliser des pliages classiques pour travailler l'argumentation en géométrie. Nous vous proposons de voir ici comment le pliage d'un simple avion de papier peut donner prétexte à une recherche mathématique sur des angles et des triangles.
Mickaël Launey, alias Micmaths propose des mathématiques ludiques, notamment via des vidéos, à regarder sans modération. L'une d'elle nous propose de construire un tétraèdre en assemblant deux tickets de métro parisien pliés. La voici :
Vous avez peut-être remarqué que le premier pli qu'on est invité à faire est déterminé de manière approximative : Mickaël Launey indique qu'il faut plier de manière à "laisser un petit coin en haut", avec un "petit triangle qui fait à peu près cette dimension-là". Ce petit "coin de dépassement" est important, car c'est lui qui permettra d'emboîter de manière solide les deux modules (les "clipser" efficacement).
Mais où devrait-on plier exactement pour que le tétraèdre soit vraiment régulier ? La question est plutôt mathématique que pratique, car vous vous en doutez, les imprécisions de pliage rendent impossible une construction exacte en pratique. Elle peut quand même nous aider à comprendre quel format approximatif il faut choisir pour les deux cartons : pourquoi le format du ticket de métro convient-il bien, contrairement au format A4, par exemple.
C'est ce à quoi nous vous proposons de réfléchir ici...
Pour nos premiers "Sous le projecteur", voici deux livres incontournables pour les francophones s'intéressant au pliage dans le contexte de l'enseignement des mathématiques : Mathémagie des pliages et Pliages et Mathématiques, de Didier Boursin et Valérie Larose, aux éditions ACL - Les Éditions du Kangourou.
On peut trouver sur le web des instructions ou des vidéos permettant de réaliser une équerre 30-60 en pliant une feuille rectangulaire ou carrée, mais souvent sans justification mathématique...
Nous vous proposons ici de d'abord découvrir un pliage de cette équerre et ensuite de justifier mathématiquement que les angles obtenus par ce pliage mesurent bien $30°$ et $60°$. Nous discuterons de deux niveaux d'argumentation possibles.
Avec quelques plis dans une feuille de papier, on peut construire des
polygones, des cubes, ou toutes sortes d'objets. Leur exploration peut
se faire à tout âge, depuis de simples propriétés de symétries à des
notions plus élaborées, faisant intervenir le théorème de Pythagore, les
triangles isométriques ou encore la trigonométrie.
Les questions
suscitées par la construction par pliage de perpendiculaires ou d'une
bissectrice, d'un carré ou d'un solide, amènent à conceptualiser, à
argumenter, à utiliser les propriétés des figures et à considérer les
objets mathématiques sous un autre jour.
Nous relançons un groupe de travail Origami et mathématiques auGEM (Groupe d'Enseignement Mathématique) dès septembre 2015. Nous accueillons avec plaisir des enseignants de tous niveaux intéressés par ce sujet.
Le GEM rassemble des enseignants du fondamental au supérieur, tous intéressés par l'enseignement des mathématiques.
Nous nous réunissons à Louvain-la-Neuve (Belgique), une après-midi toutes les trois semaines environ, pour
discuter de nos enseignements, préparer des séquences de cours, des formations continues, rédiger des articles.
Nous formons des sous-groupes,
selon les sujets qui nous intéressent. En 2015-2016, outre le sous-groupe Origami et mathématiques, il y aura des sous-groupes Enseignement fondamental, Manipulations en mathématiques, GeoGebra.
Pour plus d'informations sur le GEM ou sur l'un des sous-groupes, consultez le site http://gem-math.be .
Pour une fois, il ne s'agit pas de maths, mais de littérature. Une amie m'a offert Monsieur Origami, un roman de Jean-Marc Ceci, aux éditions Gallimard. J'ai pris beaucoup de plaisir à le lire.
Beaucoup de pliages décoratifs et ludiques peuvent donner l'occasion de travailler le vocabulaire géométrique avec les élèves (diagonales, médianes, axes de symétrie, médiatrices, bissectrices, figures planes, ...). Dans le même ordre d'idée, on peut utiliser des pliages classiques pour travailler l'argumentation en géométrie. Nous vous proposons de voir ici comment le pliage d'un simple avion de papier peut donner prétexte à une recherche mathématique sur des angles et des triangles.
Nous nous réunissons à Louvain-la-Neuve (Belgique), une après-midi toutes les trois semaines environ, pour
discuter de nos enseignements, préparer des séquences de cours, des formations continues, rédiger des articles. 