Plier un disque en six parts égales

Pour la fête de la Chandeleur, une fois n'est pas coutume, nous allons nous intéresser au pliage d'un disque : Comment partager un disque en six parts égales par pliage ?

Certains proposeront de plier d'abord le disque en deux, de repérer le milieu du diamètre puis d'obtenir des tiers du demi-disque par ajustement.

Mais peut-on faire une construction précise et justifiable mathématiquement, sans ajustement ?

Analyse du problème

Avant de se lancer tête baissée dans une recherche de la construction, il est utile d'évoquer l'image mentale liant le partage du disque en six, la construction de l'hexagone régulier inscrit au cercle et le découpage de l'hexagone régulier en six triangles équilatéraux.

Construction

Construction basée sur la hauteur d'un des triangles équilatéraux

Une première construction se base sur l'idée que, dans un triangle équilatéral, la hauteur et la médiatrice relatives au même côté sont confondues.

• Plier le disque en deux en superposant bord à bord. Déplier. Nommer $A$ et $B$ les extrémités du diamètre formé par le pli.
• Marquer $O$ le centre du disque, en faisant un pli court superposant les points $A$ et $B$. Déplier.
• Plier pour amener le point $A$ sur le point $O$. Nommer $C$ et $D$ les intersections de ce pli avec le cercle. Déplier.
• Plier selon $CO$, déplier.
• Plier selon $DO$, déplier.

Construction basée sur un report de longueur

Une deuxième construction se base sur le report de longueur du rayon, un peu comme ce qu'on ferait lors d'une construction à la règle et au compas de l'hexagone régulier.

• Plier le disque en deux en superposant bord à bord. Ne pas déplier. Nommer $A$ et $B$ les extrémités du diamètre formé par le pli.
• Marquer $O$ le centre du disque, en faisant un pli court superposant les points $A$ et $B$. Déplier.
• Faire un pli passant par le point $A$ qui amène le point $O$ sur le cercle. Marquer à l'aide d'un feutre le point du cercle sur lequel $O$ est amené. Nommer ce point $C$. Déplier.
• Plier selon $OC$. Nommer $E$ le point du cercle sur lequel $A$ est amené par ce pli.
• Plier selon $OE$.
• Déplier entièrement.

Pour aller plus loin...

La première construction, se basant sur la hauteur d'un des triangles équilatéraux formant l'hexagone, peut être exploitée lors d'un travail sur le cercle trigonométrique :  construire le pli $CD$, ce n'est rien d'autre qu'exprimer que le cosinus du tiers de l'angle plat ($60^\circ$ ou $\frac{\pi}{3}$) vaut $\frac{1}{2}$.

Evelyne David, enseignante dans le technique de qualification et animatrice de formations continues pour enseignants, a développé une approche originale du cercle trigonométrique : elle fait fabriquer à ses élèves un cercle trigonométrique, par pliage. Une description de sa démarche peut être trouvée dans l'article de Marie Pierard et Valerie Henry, Histoire et instruments de la trigonométrie, Revue Losanges n.30, 2015.

 Références

• Marie Pierard et Valerie Henry, Histoire et instruments de la trigonométrie, Revue Losanges n.30, 2015.
• Patricia Wantiez et Laure Ninove, Exploiter le pliage à la fin du primaire et au début du secondaire, Revue Losanges, n.19, SBPMef, décembre 2012, pp. 34-41.