Le problème du "fold and one-cut" dans le cas d'un triangle

Prenons un triangle dessiné sur une feuille de papier. On peut clairement le découper à l'aide de trois coupes en ligne droite (coups de ciseaux ou rogneuse).

Mais pourrait-on commencer par plier la feuille de papier pour découper le triangle en une seule coupe en ligne droite ? Voici un triangle pour lequel on a réalisé cette coupe magique.

Est-ce possible pour tous les triangles ? Et comment faut-il plier ?

Le "Fold and cut theorem"

Ce problème de la découpe du triangle en un coup de ciseaux est un cas particulier (on pourrait dire l'échauffement) d'un résultat étonnant, le "Fold and cut theorem", qui dit que n'importe quelle figure composée de segments de droites (un polygone, ou même n'importe quel dessin réalisé avec des polygones), peut être découpée en une seule coupe après un pliage adéquat. Des magiciens comme Houdini étaient par exemple capables de découper une étoile à cinq branches en un coup de ciseaux. Une première preuve du théorème général a été publiée en 1999 par Erik Demaine, qui avait alors 17 ans, Martin Demaine et Anna Lubiw. Dans les années qui ont suivi, Erik Demaine a continué l'étude du problème avec différents collaborateurs.
Voici un exemple simple avec un dessin de maison.

Erik Demaine consacre une page de son site web à l'explication des deux méthodes principales permettant de résoudre le problème général : http://erikdemaine.org/foldcut/
On y trouve également un lien vers son cours en vidéo.

Découper un triangle en un coup de ciseaux

Revenons au cas qui nous intéresse, celui du triangle. Pour explorer la situation, du papier calque peut se révéler utile.

L'idée est de superposer, grâce au pliage, les côtés du triangle.

Comment superposer par pliage deux droites sécantes ? Il suffit de construire leur bissectrice. On comprend donc qu'il faudra plier selon les trois bissectrices du triangle, depuis chaque sommet jusqu'à leur intersection.

Le pliage doit encore être aplati, mais il faut que ce pli supplémentaire permettant d'aplatir respecte bien la superposition des côtés du triangle : ce pli passant par l'intersection des bissectrices doit donc être perpendiculaire à un de côtés, il s'agit en fait d'un rayon du cercle inscrit au triangle tangent à un des côtés.

Lien inattendu avec un problème de tas de sable

Le problème du fold and one cut possède un lien surprenant à première vue avec le problème du tas de sable.

Le problème du tas de sable peut être énoncé comme ceci : Supposons une plaque horizontale et surélevée, sur laquelle on verse du sable sec et fin jusqu'à ce qu'il déborde de tous côtés. Quelle est la forme du tas de sable obtenu ainsi ?

Dans le cas du triangle ou du rectangle par exemple, il est relativement facile de réaliser le lien entre la solution du problème du tas de sable (en considérant les "lignes de crête")  et celle du fold and one-cut.

Pour en savoir plus

• Erik Demaine, The Fold-and-Cut Problem, http://erikdemaine.org/foldcut/