Trois triangles remarquables en un seul pli

Pour vous donner un petit aperçu de ce que sont les Origamics à la manière de Kazuo Haga, voici le tout premier problème présenté dans son ouvrage Origamics : Mathematical Explorations through Paper Folding.
Le pliage est très simple :

• On prend un carré $ABCD$.
• On marque $M$, le milieu de $[AB]$, par un pli court (qui amène $B$ sur $A$) puis on déplie.
• On plie pour amener le sommet $C$ sur $M$.

Trois triangles sont ainsi formés. Que peut-on en dire ? Explorez, conjecturez puis démontrez. Ensuite, déterminez les dimensions des triangles. Qu'ont-ils de particulier ?

Sous le projecteur : Origamics de K. Haga

Origamics : Mathematical Explorations through Paper Folding, de Kazuo Haga : le premier livre qui m'a fait entrer dans le monde des pliages mathématiques.

Ce livre est une mine d'or pour un cours de géométrie du milieu du secondaire. Avec quelques plis très simple, Haga nous invite à une exploration mathématique fascinante. Il a baptisé « origamics » ces origamis mathématiques.

Un paraboloïde hyperbolique en douze minutes

Une vidéo pour construire un paraboloïde hyperbolique en quelques minutes. La vidéo est en anglais, mais son auteur, Eric Gjerde, parle de manière très compréhensible. Le pliage est simple et rapide, mais le résultat est surprenant.

Le paraboloïde hyperbolique, appelé couramment "selle de cheval", est une surface réglée : elle est formée par la réunion d'une famille de droites.

Explications mathématiques

Pour en savoir plus sur les maths en jeu dans ce paraboloïde hyperbolique et avoir une explication en texte (et non vidéo) de la construction de cette surface en origami, je vous renvoie à la page http://xavier.hubaut.info/coursmath/vie/parabolo.htm .

Merci à  Ginette et Christiane de m'avoir partagé ces deux liens.

Angles et triangles dans un avion

Beaucoup de pliages décoratifs et ludiques peuvent donner l'occasion de travailler le vocabulaire géométrique avec les élèves (diagonales, médianes, axes de symétrie, médiatrices, bissectrices, figures planes, ...). Dans le même ordre d'idée, on peut utiliser des pliages classiques pour travailler l'argumentation en géométrie. Nous vous proposons de voir ici comment le pliage d'un simple avion de papier peut donner prétexte à une recherche mathématique sur des angles et des triangles.

Un tétraèdre en tickets de métro selon Micmaths

Mickaël Launey, alias Micmaths propose des mathématiques ludiques, notamment via des vidéos, à regarder sans modération. L'une d'elle nous propose de construire un tétraèdre en assemblant deux tickets de métro parisien pliés. La voici :

Vous avez peut-être remarqué que le premier pli qu'on est invité à faire est déterminé de manière approximative : Mickaël Launey indique qu'il faut plier de manière à "laisser un petit coin en haut", avec un "petit triangle qui fait à peu près cette dimension-là". Ce petit "coin de dépassement" est important, car c'est lui qui permettra d'emboîter de manière solide les deux modules (les "clipser" efficacement).

Mais où devrait-on plier exactement pour que le tétraèdre soit vraiment régulier ? La question est plutôt mathématique que pratique, car vous vous en doutez, les imprécisions de pliage rendent impossible une construction exacte en pratique. Elle peut quand même nous aider à comprendre quel format approximatif il faut choisir pour les deux cartons : pourquoi le format du ticket de métro convient-il bien, contrairement au format A4, par exemple.

C'est ce à quoi nous vous proposons de réfléchir ici...

Sous le projecteur : Mathémagie des pliages et Pliages et Mathématiques de D. Boursin et V. Larose

Pour nos premiers "Sous le projecteur", voici deux livres incontournables pour les francophones s'intéressant au pliage dans le contexte de l'enseignement des mathématiques : Mathémagie des pliages et Pliages et Mathématiques, de Didier Boursin et Valérie Larose, aux éditions ACL - Les Éditions du Kangourou.

Une équerre 30°-60° en pliage

On peut trouver sur le web des instructions ou des vidéos permettant de réaliser une équerre 30-60 en pliant une feuille rectangulaire ou carrée, mais souvent sans justification mathématique...

Nous vous proposons ici de d'abord découvrir un pliage de cette équerre et ensuite de justifier mathématiquement que les angles obtenus par ce pliage mesurent bien $30°$ et $60°$. Nous discuterons de deux niveaux d'argumentation possibles.

Quelques plis... pour explorer, conceptualiser et argumenter en mathématiques

Avec quelques plis dans une feuille de papier, on peut construire des polygones, des cubes, ou toutes sortes d'objets. Leur exploration peut se faire à tout âge, depuis de simples propriétés de symétries à des notions plus élaborées, faisant intervenir le théorème de Pythagore, les triangles isométriques ou encore la trigonométrie.

Les questions suscitées par la construction par pliage de perpendiculaires ou d'une bissectrice, d'un carré ou d'un solide, amènent à conceptualiser, à argumenter, à utiliser les propriétés des figures et à considérer les objets mathématiques sous un autre jour.

Un groupe de travail "Origami et maths" démarre au GEM !

Nous relançons un groupe de travail Origami et mathématiques au GEM (Groupe d'Enseignement Mathématique) dès septembre 2015. Nous accueillons avec plaisir des enseignants de tous niveaux intéressés par ce sujet.

Le GEM rassemble des enseignants du fondamental au supérieur, tous intéressés par l'enseignement des mathématiques.

Nous nous réunissons à Louvain-la-Neuve (Belgique), une après-midi toutes les trois semaines environ, pour discuter de nos enseignements, préparer des séquences de cours, des formations continues, rédiger des articles. 

Nous formons des sous-groupes, selon les sujets qui nous intéressent. En 2015-2016, outre le sous-groupe Origami et mathématiques, il y aura des sous-groupes Enseignement fondamental, Manipulations en mathématiques, GeoGebra.

Pour plus d'informations sur le GEM ou sur l'un des sous-groupes, consultez le site http://gem-math.be .