Un pentagone régulier dans un carré ?

Nous nous étions déjà penchés sur le pliage d'un pentagone dans une feuille de papier rectangulaire de format A4. Ce pentagone, bien que régulier en apparence, n'était pas régulier de manière théoriquement exacte. Le pliage se basait sur une approximation de $108^\circ$ par $2\arctan\sqrt{2}$.

Nous allons ici nous intéresser à un autre pliage de pentagone, dans une feuille carrée cette fois. Celui-ci sera-t-il vraiment régulier ?

 

 Pliage

1. Commencer par plier la feuille de papier carrée en deux, selon sa diagonale.
   
   

   
   
2. L'idée sera de partager l'angle plat en cinq.
   
   
   
   
3. Faire un pli amenant $B$ sur $A$.
   Nommer $O$ l'extrémité de ce pli sur $[BD]$ et $M$ l'extrémité de ce pli sur $[AB]$. Déplier.
   Par un pli court amenant $A$ sur $M$, marquer le point $N$, milieu de $[AM]$. Déplier.
   
   
   
   
4. Faire un pli, passant par $O$, amenant $[OB$ sur $[ON$.
   Nommer $E$ le point d'intersection de ce pli avec le bord de la feuille.
   
   
   
   
5. Faire un pli, passant par $O$, amenant $[OD$ sur $[OE$.
   Nommer $F$ le point d'intersection de ce pli avec le bord de la feuille.
   
   
   
   
6. Faire un pli, à travers le volet supérieur, passant par $O$ et amenant $[OD$ sur $[OF$.
   Nommer $G$ le point d'intersection de ce pli avec le bord de la feuille.
   
   
   
   
7. Faire un pli, en montagne,  selon $[ON]$.
   
   
   
   
8. Faire un pli, passant par $G$ et perpendiculaire au bord $[OF$.
   
   
   
   
9. Déplier. 
   
   
   
   

Un pentagone régulier ?

Le pentagone obtenu est-il régulier ?

On peut être étonné d'une telle question. Les angles au centre se superposaient bien lors de l'étape 7 et on a plié à travers les 10 couches de papier à l'étape 8. Le pentagone semble donc bien régulier. Pourtant, constater que les angles sont bien superposés par pliage ne suffit pas pour conclure. Les angles semblent  se superposer assez bien, mais probablement pas impeccablement. Cela peut induire un doute : les petites différences de mesure sont-elles seulement dues à des imprécisions de pliage ? On sent le besoin d'une justification rigoureuse.

Pour justifier de manière rigoureuse que le pentagone est réellement régulier (d'un point de vue théorique, sans se soucier des imprécisions de pliage), que devrait-on montrer ? La première idée à laquelle on pourrait penser est peut-être de montrer que les cinq côtés du pentagone ont même longueur. Cependant, ce n'est pas suffisant, car un pentagone articulé n'est pas rigide (contrairement aux triangles). Il faut donc également s'intéresser aux angles au sommet : montrer qu'ils sont égaux, ou montrer qu'ils mesurent $108^\circ$. (Pour être précis, si les cinq côtés sont isométriques, il suffit de montrer que deux angles seulement mesurent $108^\circ$ ou que trois angles ont même amplitude).

Mais, pour le pliage qui nous intéresse, les angles au sommet et les côtés ne sont formés que par le tout dernier pli réalisé, alors que dès le début, à l'étape 4, nous avons basé la construction sur la construction d'angles aux centres apparemment de même amplitude. Pour démontrer que le pentagone est régulier, on pourrait donc montrer que ses cinq angles au centre mesurent tous $360^\circ/5=72^\circ$ et que les cinq sommets sont bien tous situés sur un cercle de centre $O$.

Pour justifier de manière rigoureuse que le pentagone n'est pas régulier, on pourrait penser qu'il faut montrer que toutes les propriétés du pentagone régulier ne sont pas vérifiées. Mais ce n'est pas nécessaire. Il suffit en effet d'invalider une seule des propriétés d'un pentagone régulier pour montrer que la figure considérée n'en est pas un. (De la même manière que pour montrer qu'une figure n'est pas un carré, il suffit par exemple de montrer qu'un de ses angles n'est pas droit). Encore faut-il déterminer laquelle de ces propriétés invalider...

Par où commencer ? Il est souvent plus simple, lors d'une recherche de justification dans le cadre d'un problème de pliage, de revenir aux premiers plis de la construction. Dans notre cas, on pourrait commencer par se pencher sur les plis réalisés aux étapes 1 à 4. Ceux-ci ont amené à la construction d'un premier angle au centre, à savoir l'angle $\widehat{BON}$. Tentons donc de déterminer l'amplitude de $\widehat{BON}$.

Détermination de l'angle $\widehat{BON}$

Pour déterminer l'angle $\widehat{BON}$, on pourrait vouloir le décomposer en deux angles de même amplitude (car construits de manière à se superposer) $\widehat{BOE}$ et $\widehat{EON}$. Mais cela ne nous mènera pas loin, car le point $E$ a été construit après, de manière à ce que $OE$ soit bissectrice de l'angle $\widehat{BON}$.

Il est plus judicieux de se souvenir comment le point $N$ a été construit : $N$ est le milieu de $[MA]$. On peut alors décomposer $\widehat{BON}$ en deux angles $\widehat{BOM}$ et $\widehat{MON}$. On justifie aisément que le triangle $BOM$ est un triangle rectangle isocèle, ce qui permet de déduire que $|\widehat{BOM}|=45^\circ$. Par ailleurs, l'angle $\widehat{MON}$ est un angle du triangle $MON$, rectangle en $M$, dont on peut exprimer les longueurs des deux côtés de l'angle droit en fonction du côté de la feuille carrée utilisée pour le pliage: $|OM|=\frac{1}{2}\, |AB|$ et $|MN|=\frac{1}{4}\, |AB|$.

On trouve donc, par trigonométrie dans le triangle rectangle $MON$ :
\[\tan|\widehat{MON}| = \frac{|MN|}{|MO|} = \frac{1}{2},\]  

ce qui permet de déduire

\[|\widehat{BON}|=45^\circ+\arctan \frac{1}{2}\approx 71,57^\circ\neq72^\circ.\]

Le pentagone n'est donc pas régulier.

Des pentagones vraiment réguliers en origami ?

Le pliage de pentagone que nous avons analysé n'est donc pas une construction théoriquement exacte d'un pentagone réguler. Mais c'en est, en pratique, une très bonne approximation (basée sur une approximation de $72^\circ$ par $45^\circ + \arctan \frac{1}{2}$). Il existe des constructions théoriquement exactes de pentagones réguliers en origami (voir par exemple sur le site Origami Resource Center). En pratique néanmoins, les constructions théoriquement exactes sont souvent moins précises que le pliage approximatif décrit ci-dessus. En effet, le grand nombre de plis nécessaires à leur construction génère des petites imprécisions de pliages qui s'accumulent.

Exploitations en classe

• Au milieu du secondaire : la preuve que le pentagone n'est pas régulier permet notamment de réfléchir sur le sens et l'utilité des démonstrations et d'aborder quelques rudiments de logique (notamment le fait qu'il n'est pas nécessaire d'invalider toutes les conditions nécessaires pour que le pentagone soit régulier pour montrer qu'il ne l'est pas). Elle permet aussi de mobiliser en contexte la trigonométrie du triangle rectangle.
• Au primaire ou au début du secondaire : ce pentagone "presque régulier" est relativement facile à construire et convient bien comme support à manipuler pour l'étude des polygones réguliers. Les axes de symétrie du polygone sont construits d'emblée. Il peut être utile, pour bien visualiser le pentagone, de découper à l'étape 8 plutôt que plier. On peut aussi découper de manière à obtenir un décagone régulier (en réalisant des triangles isocèles) ou de manière à obtenir des étoiles à cinq branches.
  
  
  

Bibliographie

On peut retrouver le pliage (sans l'exploration réalisée ici) dans :

• Betsy Franco, Unfolding Mathematics with Unit Origami, Key Curriculum Press, 1999.
• Oschene, How to Make a Regular Decagon (or Pentagon, Whatever) from a Square, The Fitful Flog, 2006.

Nous nous étions penchés sur un autre pentagone (pas non plus exactement régulier) sur ce blog, dans Un pentagone régulier dans un A4 (1).